. . . .
. . . . .
含参变量的积分
1 含参变量的正常积分
1． 求下列极限：
(1) 12210limaxadx；

(2) 2200limcos axaxdx；
(3) 1220lim1aaadxxa.
2．求'()Fx，其中：
(1) 22()xxyxFxedy；
(2) 2cos1sin()xxyxFxedy；

(3) sin()()bxaxxyFxdyy；

(4) 220(,)xxtftsdsdt.
3．设()fx为连续函数，
2
00

1
()()xxFxfxddh




，

求''()Fx.
4．研究函数
1
22
0

()()yfx
Fydxxy




的连续性，其中()fx是[0，1]上连续且为正的函数.
5．应用积分号下求导法求下列积分：
(1) 2220ln(sin) (1)axdxa;
(2) 20ln(12cos) (||1)axadxa；
(3) 222220ln(sincos) (,0)axbxdxab；
. . . .
. . . . .
(4) 20arctan(tan) (||1)tanaxdxax.
6．应用积分交换次序求下列积分：
(1) 10 (0,0)lnbaxxdxabx；

(2) 101sinln (0,0)lnbaxxdxabxx.
7．设f为可微函数，试求下列函数的二阶导数：
(1) 0()()()xFxxyfydy；
(2) ()()|| ()baFxfyxydyab；

8．证明：222211112222220000()()xyxydxdydydxxyxy.
9．设1220()lnFyxydx，问是否成立
1
'22

00(0)ln|yFxydxy







.

10．设
2
cos0()cos(sin)x
Fxexd


求证()2Fx.
11．设()fx为两次可微函数，()x为可微函数，证明函数
11
(,)[()()]()22xatxatuxtfxatfxatzdza


满足弦振动方程
22
2

22

uuatx




及初始条件
(,0)(),(,0)()tuxfxuxx
.
. . . .
. . . . .
2 含参变量的广义积分
1．证明下列积分在指定的区间一致收敛：
(1) 220cos() (0)xydyxaxy；

(2) 20cos() ()1xydyxy；
(3) 1 ()xyyedyaxb；
(4) 1cos (0,0)xypyedypxy；

(5) 20sin (0)1pxdxpx.
2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性：
(1) 20 (0)xedx；

(2) 0 xyxedy，
（i）[,] (0)xaba，（ii）[0,]xb；
(3) 2()xedx，
（i）ab，（ii）；
(4) 22(1)0sin (0)xyexdyx.

3．设()ft在0t连续，0()tftdt当,ab皆收敛，且ab。
求证：0()tftdt关于在[,]ab一致收敛.
4．讨论下列函数在指定区间上的连续性：

(1) 220()xFxdyxy，(,)x；

(2) 20()1xyFxdyy，3x；
(3) 20sin()()xxyFxdyyy，(0,2)x.
. . . .
. . . . .
5．若(,)fxy在[,][,)abc上连续，含参变量广义积分
()(,)cIxfxydy

在[,)ab收敛，在xb时发散，证明()Ix在[,)ab不一致收敛.
6．含参变量的广义积分()(,)cIxfxydy在[,]ab一致收敛的充要条件是：对任一
趋于的递增数列{}nA（其中1Ac），函数项级数

111(,)()nnAnAnnfxydyux






在[,]ab上一致收敛.
7．用上题的结论证明含参变量广义积分()(,)cIxfxydy在[,]ab的积分交换次序
定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）.
8．利用微分交换次序计算下列积分：

(1) 210()()nndxIaxa （n为正整数，0a）；

(2) 0sinaxbxeemxdxx（0,0ab）；
(3) 20sinxxebxdx (0).
9．用对参数的积分法计算下列积分：

(1) 220axbxeedxx（0,0ab）；

(2) 0sinaxbxeemxdxx（0,0ab）.
10．利用2(1)2011yxedyx计算拉普拉斯积分
2
0

cos1x
Ldxx




和
1
2

0

sin1xx
Ldxx




.

11．利用2012(0)xyedyxx计算傅伦涅尔积分
. . . .
. . . . .
2
00

1sinsin2x
Fxdxdxx


和
2
1
00

1coscos2x
Fxdxdxx

.

12．利用已知积分

0
sin2x
dxx

，202xedx

计算下列积分：
(1) 420sinxdxx；

(2) 02sincosyyxdyy；
(3) 220xxedx (0)a；
(4) 2()0axbxcedx (0)a；

(5) 222()axxedx (0)a.
13．求下列积分：
(1) 01costetdtt；

(2) 220ln(1)1xdxx.
14．证明：
(1) 10ln()xydy在1[,]bb (1)b上一致收敛；

(2) 10ydxx在(,]b (1)b上一致收敛.

3 欧拉积分
. . . .

. . . . .
1．利用欧拉积分计算下列积分：
(1) 11041dxx；

(2) 120xxdx；
(3) 130(1)xxdx;
(4) 2220)axaxdx (0)a；
(5) 6420sincos xxdx；
(6) 401dxx；
(7) 220nxxedx （n为正整数）；
(8) 03cosdxx；
(9) 220sinnxdx （n为正整数）；
(10) 1101lnnmxdxx (n为正整数).
2．将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域：
(1) 102mnxdxx；

(2) 101nmdxx；
(3) 20tan nxdx；
(4) 101lnpdxx；
(5) 0lnpxxexdx (0).
3．证明：
(1) 11()nxedxnn (0)n；

(2) lim1nxnedx.
4．证明：
. . . .
. . . . .
1110(,)(1)babxxBabdxx








；

10()sxsxedx



(0)s.