修保养厂。初步确定在汽车比较多的一处设置维修保养场。根据统计
资料。顾客在上述三处还车的概率如下表所示，试确定在何处设汽车
维修保养场。
表 还车的概率
还车处 甲
租车处
乙
丙
甲
0.8
0.2
0
乙
0.2
0
0.8
丙
0.2
0.2
0.6
解:由题意可知,该问题的转移概率矩阵 P 为:
所以
0.8 0.2 0 P 0.2 0 0.8
况如下表所示：
到
甲
乙
从
甲
230
10
乙
20
250
丙
20
10
（11 月）
280
270
丙
（10 月）
10
250
30
300
410
450
450
1000
假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去（转移矩阵不
变），预测 12 月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一
段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场夫链：
（1）无后效性，即系统的第 n 次实验结果出现的状态，只与第 n 1次
有关，而与它以前所处的状态无关；
（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。
定义 2 向量 u (u1,u2 ,,un ) 成为概率向量，如果 u 满足：
0.2 0.2 0.6
成立，上式展开，得：
0.8x 0.2y 0.2(1 x y) x
0.2x 0.2y 0.2(1 x y) y
0.2x 0.8y 0.6(1 x y) 1 x y
解上述联立方程式，得 x 0.5， y 0.167 故 (x , y ,1 x y) ( 0.5 , 0.167 , 0.333 )
马尔可夫链模型简介
设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合
为, E1, E2, EN , E1, E2, EN 两两互斥,则陈 Ei 为状态。 i 1,2, N 。称
该系统从一种状态 Ei 变化到另一状态 E j 的过程称为状态转移，并把整 个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。
丙
甲 230 / 250
P
乙
20
/
300
丙 30 / 450
10 / 250 250 / 300 10 / 450
10 / 250
30
/
300
410 / 450
0.92 0.04 0.04
0.067 0.833
0.1
0.067 0.022 0.911
矩阵中每一行的元素，代表着各企业保持和失去用户的概率，如第一
状态发展下去，那么经过一段时间后，三企业的市场占有率将分别为
45.98%、15.98%、38.44%。显然，对于乙、丙两企业而言，必须迅速
找出市场占有率下降的原因。
例二：最佳服务地点选择
市汽车出租公司在甲、乙、丙三处开设租车还车处，顾客可在甲、
乙、丙三处任意租车和还车。今公司准备在上述三处之一设立汽车维
行甲企业保持用户的概率是 0.92,转移到乙,丙两次企业的概率都是
0.04,甲企业失去用户的概率是
0.04 0.04 0.08
第三步：利用马尔可夫链进行预测.显然,12 月份三家企业市场占有
率为
S (2)
(S1(2) ,
S（22）,
S
( 3
2)
)
S (0) P2
0.92 0.04 (0.25, 0.3 0.45)0.067 0.833
P
P21
PN
1
P12 P1N
P22
P2
N
PN 2
PN 3
为一次（或一步）转移矩阵。
转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质：
1、 P(k) ； P(k1) P
2、 P(k) Pk
其中 P(k) 为 k 次转移矩阵。
定义 5 对概率矩阵 P ，若幂次方 P(m) 的所有元素皆为正数，则矩阵
来求三个企业的该种产品市场占有的稳定状态概率.
易验证 P 为正规矩阵.
设 t (x, y, 1 x y)
令 tP t
0.92 0.04 0.04
(x, y , 1 x y)0.067 0.833
0.1
(x
,
y,1
x
y)
0.067 0.022 0.911
将上式展开，得
0.92x 0.067y 0.067(1 x y) x
0.2 0.2 0.6
0.68 0.16 0.16 P2 0.32 0.2 0.48
0.32 0.16 0.52
因为 P2 都大于 0，所以 P 为正规矩阵,当甲、乙、丙三处租车还车业
务开展一定时期后,就会达到平衡条件,这样就可以得到一固定概率
向量 t ,使 tP t ,即
0.8 0.2 0 (x, y , 1 x y)0.2 0 0.8 (x, y,1 x y)
0.04x 0.833y 0.022(1 x y) y
0.04x 0.1y 0.911(1 x y) 1 x y
解上述联立方程式，得 x 0.4558， y 0.1598 故 (x , y ,1 x y) ( 0.4558 , 0.1598 , 0.3844 )
上述结果表明:如果甲、乙、丙三企业的市场占有率照目前转移概率
由上述计算可知,在稳定状态汽车还到甲处的概率为 0.5.即向甲 处还车的概率占出租车的一半,因此汽车维修保养场设在甲处是最佳 的选择.
经过 k 次转移后的状态向量
S (k)
(S1(k
)
,
S
(k 2
)
,
S
(k N
)
)
(k
1,
2
, )
，则
P11
S (k)
S
(
0)
P21
PN1
P12 P1N
P22
P2
N
PN 2 PNN
此式即为马尔可夫链预测模型。
由上式可以看出，系统在经过 k 次转后所处的状态 S (k) 取决与它的初
0.067 0.022
(0.306 , 0.246, 0.448)
0.04 2
0.1
0.911
12 月份三个企业用户拥有量分别为:
甲：1000 0.306 306 户 乙：1000 0.246 246 户 丙：1000 0.448 448 户 现在,假定该产品用户的流动情况按上述方向继续变化下去,我们
始状态 S (0) 和转移矩阵 P 。 马尔可夫引例
例 1：市场占有率预测
设有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共同供应 1000 家用
户，各用户在各企业间自由选购，但不超出这三家企业，也无新的用
户，假定在 10 月末经过市场调查得知，甲，乙，丙三家企业拥有的
客户分别是：250 户，300 户，450 户，而 11 月份用户可能的流动情
u
j
0 j 1, 2, , n
n
uj 1
j 1
定义 3 如果方阵 P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。
如果矩阵 A 和 B 皆为概率矩阵，则 AB ，Ak ，Bk 也都是概率矩阵（ k 为
正整数）。
定义 4 系统由状态 Ei 经过一次转移到状态 E j 的概率记为 Pij ，称矩阵
P11
解：第一步：根据调查资料，确定初始状态概率向量，这里
S (0)
(S1(0) ,
S
(0) 2
,
S3(0) )
(250 /1000, 300 /1000, 450 /1000)
(0.25, 0.3 0.45)
第二步：确定一次转移概率矩阵，此例有用户可能流动情况调查表可
知，其一次转移概率矩阵为：
甲
乙
P 称为正规概率矩阵。（此处 m 2 ）
定理 1 正规概率矩阵 P 的幂次方序列 P ， P2 ， P3 ，…趋近于某一
方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量 t ，且满足tP t 。
马尔可夫链模型如下：
设系统在 k 0 时所处的初始状态
S (0)
(S1(0)
,
S
(0) 2
,
S
(0) N
)
为已知，