第6课时 三角形中的有关问题
要点 疑点 考点 课前 热 身 能力 思维 方法 延伸 拓展 误解分析
要点穧疑点穧考点
1.正弦定理：
(1) 定理： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中
R为△ABC外接圆的半径).
(2) 三角形面积公式
S=absinC/2=bcsinA/2=casinB/2
2. 余弦定理：
a2=b2+c2-2bccosA， b2=c2+a2-2cacosB，
变形式？
c2=a2+b2-2abcosC
课前热身
1. △ABC中，cos2A＜cos2B是A＞B的( C )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
2. 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所
误解分析
1.在解斜三角形时，要根据条件正确选择正、 余弦定理，特别要注意解的个数，不要误解.
2.判定三角形形状时，不要随意约去恒等式两 边的公因式，以免造成漏解.
3.在△ABC中，已知a2-a=2(b+c)，a+2b=2c-3.
若 sinC : sinA 4 : 13， ①求a,b,c；
②求△ABC的最大角.
【解题回顾】在△ABC中，总有大角对大边的关系 存在，欲求△ABC的最大角(边)或最小角(边)，只 需找到相应的最大边(角)或最小边(角).其具体方法 应根据已知条件去选定.一般地，在下表给出的条 件下用相应的定理就能求解对应的三角形：
2.在△ABC中，已知 acos 2 C + ccos 2 A 3 b
2
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(1)求证：a、b、c成等差数列：
(2)求角B的取值范围.
【解题回顾】条件中给出的等式是既有边又有角
的“混合式”，处理这类条件时常常运用正、余 弦定理使其“单纯化”；在求解(2)时，要用均值 不等式处理一下.
延伸·拓展
已知条件 三边a、b、 两边及一角
c
两角及夹 边
两角及一对边
应用定理
余弦定理
正、余弦定 理
正弦定理
正弦定理
4.在△ABC中，若tanA=1/2,tanB=1/3，最长边的长度 为1. (1)求∠C；(2)求最短边的长度.
【解题回顾】在三角形中，已知两角的三角函数 求第三个角时，一般是先求出这个角的某个三角 函数值，再根据角的范围求出该角.另外，在解斜 三角形时，要根据题目的条件正确地选择正、余 弦定理，并要注意解的个数.
对边的边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3a·sinB,则
∠C等于( B )
A.π/6 B.π/3
C.2π/3
D.5π/6
3.在△ABC中，若a·sinA=b·sinB，则△ABC是( A )
(A)等腰三角形
(B)直角三角形
(C)等腰或直角三角形
(D)等腰直角三角形
能力·思维·方、b、c
求证： a 2 b 2 sinA B
c2
sinC
【解题回顾】本题欲证之结论中，左边是仅含边的 代数式，右边是仅含角的三角式.因此，通过正、 余弦定理，要么从左边出发，将边的关系转化为角 的关系，再运用三角变换得到右边，要么从右边出 发，将角的关系转化为边的关系，再运用代数恒等 变形方法得到左边.特别注意的是，本题左边是关 于三边的二次齐次分式，因此，正、余弦定理都可 以直接运用.