精品文档 精品文档 第二节 广义积分的收敛判别法

上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a, +∞ ）上的广义积分adxxf)(

收敛的充分必要条件是：0, 存在A>0, 使得b, b>A时，恒有 |)(|/bbdxxf

证明：对blim0)(bdxxf使用柯西收敛原理立即得此结论． 同样对瑕积分badxxf)((b为瑕点), 我们有 定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b–]上常义可积，则瑕积分badxxf)(收敛的充要条件是: 0 , 0, 只要0</，就有

|)(|/bbdxxf

定义9.5如果广义积分adxxf|)(|收敛，我们称广义积分adxxf)(

绝对收敛（也称f(x)在[a,+)上绝对可积]; 如adxxf)(收敛而非绝对收敛，则称adxxf)(条件收敛，也称f(x)在[a,+)上条件可积． 由于aAA/,，均有 精品文档 精品文档 |)(|/AAdxxf/|)(|AAdxxf 因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分adxxf)(绝对收敛，则广义积分adxxf)(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+)上恒有),()(0xkxf（k为正常数）

则当adxx)(收敛时, adxxf)(也收敛; 当adxxf)(发散时, adxx)(也发散． 证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f(x), g(x) 均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 xxkgxf),()(0[a, b), 则

1） 如badxxg)(收敛，则badxaf)(也收敛。 2）如badxxf)(发散，则badxxg)(也发散． 比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式． 精品文档 精品文档 定理9.6 如果f(x), g(x)是[a,+)上的非负函数, 且,)()(limlxgxfx 则 (1) 如果l0, 且adxxg)(收敛, 则积分adxxf)(也收敛． (2) 如果l0, 且adxxg)(发散，则积分adxxf)(也发散． 证明：如果,0)()(limlxgxfx 则对于)0(0l, 存在A,

当Ax时, lxgxfl)()(0 即)()()()()(xglxfxgl成立. 显然adxxf)(与adxxg)(同时收敛或同时发散，在l=0或 l=时，可类似地讨论.

使用同样的方法，我们有 定理9.7 对以b为唯一瑕点的两个瑕积分badxxf)(与badxxg)( 如果

f(x), g (x) 是非负函数，且,)()(limlxgxfbx 则 （1） 当l0, 且badxxg)(收敛时，则badxxf)(也收敛． （2） 当l0，且badxxg)(发散时，则badxxf)(也发散．

对无限区间上的广义积分中，取apdxx1作比较标准，则得到下列Cauchy判别法：设f(x)是[a,+)的函数，在其任意闭区间上可积,那么: 定理9.8 若0f(x)pxc， p>1,那么积分adxxf)(收敛，如f(x)pxc，p1,则积分adxxf)(发散． 其极限形式为 定理9.9 如xlimlxfxp)( (l0, p>1), 则积分adxxf)(收精品文档 精品文档 敛． 如blimlxfxp)(, 而l0, p1, 则adxxf)(

发散. 例9.8 判断下列广义积分的收敛性。

(1) 111)11ln(dxxx

(2) 11dxxxnm (m>0, n>0) 解：（1）因为0xx1

1)11ln(

xx1

11

21)1(1

xxx

由121dxx收敛推出111)11ln(dxxx收敛．

（2）因为xlim,11nmmnxxx 所以当n－m>1时，积分11dxx

x

nm

收敛. 当n－m1时，积分11dxxxnm发散．

对于瑕积分，使用bapdxax)(1作为比较标准，我们有下列柯西判别法． 定理9.10 设x=a是f(x)在[a,b)上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么

（1） 如0f(x)paxc)( (c>0), p<1, 则badxxf)(收敛．

（2） 如f(x)paxc)( (c>0), p1, 则badxxf)(发散． 瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为 精品文档 精品文档 定理9.11 设kxfaxpax)()(lim 如0k<, p<1, 则badxxf)(收敛 如0例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。 (1) 10222)1)(1(xkxdx (k2<1)

(2) 20cossinxxdxqp (p,q>0) 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点 因为 1limx)1)(1()1(22221xkxdxx =)1(212k

由21p知瑕积分收敛． （2）0与2都是被积函数的瑕点． 先讨论,cossin40xxdxqp 由0limx

1cossin1xxxqpp

知: 当p<1时, 瑕积分40cossinxxdxqp收敛; 当p1时,瑕积分4

0cossinxx

dx

qp发散．

再讨论 24cossinxxdxqp 因2limx1cossin1)2(xxxqpp 精品文档

精品文档 所以当 q<1时, 瑕积分24cossinxxdxqp收敛， 当q1时，瑕积分24cossinxxdxqp发散． 综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分20cossinxxdxqp收敛; 其他情况发散． 例9.10 求证: 若瑕积分10)(dxxf收敛，且当0x时函数f(x)单调趋向于+，则0limxx f(x)=0.

证明：不妨设]1,0(x, f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上单调减少。 已知10)(dxxf收敛，由柯西收敛准则，有 0, 0(<1), x0有

,)(2xxdttf 从而 0<)(2xfxxxdttf2)(

或 0即0limxx f(x)=0.

例9.11 求证瑕积分10)]cos1([1dxxx(>0), 当<31时收敛 当31时发散. 精品文档

精品文档 证明:∵0limx)]cos1([3xxx=0limx









233cos1xxx

x

=0limx2cos112xx 所以当3<1时，即<31时，瑕积分收敛．当31，即31时，瑕积分发散． 前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果． 定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在[a,b]上可积，f(x)在[a,b]上单调，则存在ξ[a,b] 使 badxxgxf)()(=aadxxfbgdxxfag)()()()( 为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况． 引理9.1设f(x)在[a, b]上单调下降并且非负，函数g(x)在[a,b]上可积，则存在c[a,b]，使 badxxgxf)()(=f(a)cadxxg)(

证明：作辅助函数)(x= f(a),)(xadttg 对[a,b]的任一分法 P: a=x0我们有 badxxgxf)()(=dxxgxfnixxii)()(11

由此得到