• [答案]C • [解析] ①反映的正是最小二乘法思想，故正确． • ②反映的是画散点图的作用，也正确． • ③解释的是回归方程＝x＋的作用，故也正确．
• ④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性 检验，以体现两变量的关系． • [点评] 线性回归分析的过程： • (1)随机抽取样本，确定数据，形成样本点 • (2) 由样本点形成散点图，判定是否具有线性相关 关系； • (3)由最小二乘法确定线性回归方程； • (4)由回归方程观察变量的取值及变化趋势．
^ x＋ a ^ 可以估计观测变量的取值和 ③通过回归方程^ y ＝b
• ④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回 变化趋势； 归方程，所以没有必要进行相关性检验． • 其中正确命题的个数是 (
)
• A．1 B．2 • C．3 D．4 • [分析] 由题目可获取以下信息： • ①线性回归分析； • ②散点图； • ③相关性检验等的相关概念及意义． • 解答本题可先逐一核对相关概念及其性质，然后 再逐一作出判1 (x1＋x2＋…＋xn)，y ＝n(y1＋y2＋…＋yn)， ∑i＝1xiyi＝x1y1＋x2y2 ^ 2 2 2 2 ^ ＋…＋xnyn， ∑i＝1xi ＝x1＋x2＋…＋xn.再由a＝ y －b n
^的 x 求出a
值，并写出回归直线方程．
^ ^ 2．回归直线中的截距a和斜率b都是通过样本估计而来
• 回归分析问题有线性回归问题和非线性回归问题， 对于非线性回归问题，往往利用转换变量的方法 进行转化，转变为线性回归问题．
• [例1] 有下列说法： • ①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线， 使之贴近这些样本点的数学方法； • ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的 关系是否可以用线性关系表示；
• 下列有关线性回归的说法，不正确的是 ( ) • A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随 机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 • B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示 具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散 点图 • C．线性回归方程最能代表具有线性相关关系的x， y之间的关系 • D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的线 性回归方程
• 本节重点：了解线性回归模型与函数模型的差异， 了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和 残差分析． • 本节难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方 和分解的思想．
• 一、相关关系的概念 • 当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关 系． • 二、回归分析的相关概念 • 1．回归分析是处理两个变量之间 相关关系 的 一种统计方法．若两个变量之间具有线性相关关 系，则称相应的回归分析为 ．
e
• R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模 型的拟合效果越 ．在线性回归模型中，R2表示 好 解释变量对预报变量变化的 ．R2越接近于 2越接近于1，表 1，表示回归的效果越好 ( 因为 R 贡献率 示解释变量和预报变量的线性相关性越强)．
3．残差分析 (1)在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来 粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来 拟合数据，然后，通过残差^ e，^ e2，…，^ en 来判断模型拟合 的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分 析工作称为残差分析．
线性回归分析
• 3．线性相关关系强与弱的判断：用 相关系数r 来描述线性相关关系的强弱．当r>0时，表明两 正相关 个变量 ；当r<0时，表明两个变量 负相关 ．r的绝对值越接近 1，表明两个变量的线性 相关性越强；r的绝对值接近于0时，表明两个变 量之间 线性相关关系．通常当|r| 几乎不存在 大于 时，认为两个变量有很强的线性 相关关系． 0.75 • 4．随机误差的概念：当样本点散布在某一条直 线的附近，而不是在一条直线上时，不能用一次 函数y＝bx＋a来描述两个变量之间的关系，而是 用线性回归模型 y＝bx＋a＋e 来表示，其中 a和b 为模型的未知参数， 称为随机误差．
• [答案] D • [解析 ] 只有对两个变量具有线性相关性作出判 断时，利用最小乘法求出线性方程才有意义.
• [例2] 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与 销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
• (1)画出散点图； • (2)求y关于x的回归直线方程．
• [解析] (1)散点图如图所示．
• (2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
• [点评] 求回归直线方程，关键在于正确地求 出，，由于，的计算量较大，计算时要仔细谨慎、 分层进行，避免计算失误．
1．求b的值时利用公式b＝
^
^
∑i＝1xiyi－n x y
2 ∑i＝1x2 i －n x n
• 1．1 回归分析的基本思想及其初步应用
• 1．知识与技能 • 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出 散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关 系． • 2．过程与方法 • 通过求线性回归方程，探究相关性检验的基本思 想． • 通过对典型案例的探究，体会回归分析在生产实 际和日常生活中的广泛应用．
的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果有偏差．
^ ^ ^ ^ 3．回归直线方程y＝a＋bx 中的b表示 x 每增加 1 个 ^ ^ ^表示^ 单位时，y的变化量为b，而a y不随 x 的变化而变化
• (2)利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为 ，横坐标可以选为 ，这样 样本编号 残差 作出的图形称为残差图．如果图中有某个样本点 的残差比较大，需要确认在采集这个样本点的过 程中是否有人为的错误．如果数据采集有错误， 就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合 数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他 的原因．另外，残差点比较均匀地落在水平的带 状区域中，说明选用的模型比较合适．这样的带 状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回 归方程的预报精度越高．