t
正态 分布
- 分布的形状（图示）
标准正态分布
Z
t (df = 13) t (df = 5)
t-分布
X
t 分布与正态分布的比较 不同自由度的t分布
t
查 t
- 分布表
P(t t )
P(t t /2 ) / 2
X
T(k) 分布
t ta/2
第五节
大数定律和中心极限定理
一、大数定律
一般正态分布的表示
标准正态分布的表示
标准正态分布
一般正态分布1

Z
标准正态分布
一般正态分布2


x
1

Z

x
标准化的例子 P(5 X 6.2)
X 6.2 5 Z 0.12 10
一般正态分布
=10
标准正态分布
=1
.0478
=5 6.2
3.切贝谢夫大数定律

正态分布函数的性质
1. 图形是关于x= 对称的钟形曲线，且峰值在x= 处， 也是分布的中位数和众数
2.
正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值 的 标准差来确定。 决定正态分布曲线的位置，决定曲 线的平缓程度，即胖瘦。
当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个 尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交
3.
4.
正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的 面积给出，而且其曲线下的总面积等于1
和 对正态曲线的影响
f(x)
=1/2 =1
B
A
C
1
2
x
正态分布的概率
概率是曲线下的面积!
φ(x)
P(a b) ( x)dx ?
a
b
a
b
x
正态分布曲线下面的面积
解： (1)
5 10 5 P ( 10) P 3 3 5 P 1.67 (1.67) 0.9525 3
2 5 5 10 5 P (2 10) P 3 3 3 5 P 1 1.67 3 (1.67) ( 1) 0.7938


φ(x)
68.27% 95.45% 99.73%
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
Z
标准正态分布与一般正态分布
φ(x)
68.27%
95.45%
99.73%
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
Z
φ(x)
68.27%
95.45%
99.73%
μ -3σ
μ -2σ
μ -σ
μ
μ +σ
μ +2σ
μ +3σ
x
标准正态分布表的使用
b a P ( a b)
标准化的例子P(2.9ξ 7.1)
2.9 5 Z .21 10 7.1 5 Z .21 10
一般正态分布 标准正态分布
= 10
= (3)- (-1)= (3) – [1-(1)]
= 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4) P(| ξ | 2) = P(-2 ξ| 2)= (2)- (-2) = (2)- [1-(2)]=2 (2)- 1=0.9545
正态分布（实例）
【例】设ξ ~N(5，32)，求以下概率 (1) P(ξ 10) ； (2) P(2< ξ <10)
时只需要查一张表
4.
Z分数（标准正态变量）
标准正态分布
1. 标准正态分布的概率密度函数
1 ( x) e 2
x2 2
, x
2.标准正态分布的分布函数
( x) ( x)dt

x
x
1 2

e dt
t2 2
3.随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布
60 50 40 50 P(40 X 60) Φ( ) Φ( ) Φ(1) Φ(1) 2Φ(1) 1 10 10 2 0.8413 1 0.6826
卡方分布
卡方分布是一种连续型随机变量的概率分布，主要用于列联 表 检验。 1.数学形式 设随机变量X1，X2，„Xk，相互独立，且都服从同一的正态分布N (μ ，σ 2)。那么，我们可以先把它们变为标准正态变量 Z1，Z2，„Zk，k个独立标准正态变量的平方和被定义为卡方分布 。通常把这个分布叫做自由度为K的X2分布。
(2)
正态分布 (例题分析)
【例】假定某公司职员每周的加班津贴服从均值为50元、标准差为10元的正态 分布，那么全公司中有多少比例的职员每周的加班津贴会超过70元，又有多少比 例的职员每周的加班津贴在40元到60元之间呢？
解：设=50， =10，X～N(50,102)
70 50 P( X 70) 1 P( X 70) 1 Φ( ) 1 Φ(2) 10 1 0.97725 0.02275
用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是 否相等。 1.数学形式 设 和 相互独立，那么随机变量
服从自由度为(k1，k2)的F分布。其中，分子上的自由 度k1叫做第一自由度，分母上的自由度k2叫做第二自由度。
2014-1-10 23
[例] 试求下列பைடு நூலகம்值：
[解]查F分布表(附表8)得
2014-1-10
(3) F分布的期望值与变异数(方 差)
2014-1-10
25
t – 分布的概念

如果ξ、η相互独立，且ξ～N(0，1)，η ～χ2(k)，那么
t= t(k)

k t(k)就是自由度为k的t分布 t分布是单峰对称分布，取值在-∞到+∞之间 E(t)=0 D(t)=k/(k-2)，在k＞2时 当k逐渐增大时，t分布趋近于标准正态分布. 当正态总体标准差未知时，在小样本条件下对总体均值的估 计和检验要用到t分布，t分布的概率即为曲线下的面积。
2.贝努里大数定律

设m是n次独立观测中事件A出现的次数，而p是事件A在每次 观测中出现的概率，那么对于任何一个正数ε，有
m lim P ( p < )=1 n n


从数量上说明，在相同条件下进行多次观察时，随机事件的 频率m/n有接近于它概率的趋势。 贝努里大数定律为用抽样成数（ m/n ）来估计总体成数p 奠定了基础。

D( )
例：p162
2
切贝谢夫不等式（例题）
某地进行了收入情况调查。收入的分布不清楚。但知道平均收入为80元，标准差为10元。问 60元-100元之间的概率是多少？ 解：由于切贝谢夫不等式是不受分布限制的，因此本题在分布不清楚的情况下，可带入公式 进行估算。根据题意，E(ξ)=80(元)， ε 取20（元），则
1. 2. 3. 4.

将一个一般的转换为标准正态分布 计算概率时 ，查标准正态概率分布表 对于负的 x ，可由 (-x)1 x得到 对于标准正态分布，即ξ~N(0,1)，有
P (a ξ b) b a P (|ξ| a) 2 a 1
5.
对于一般正态分布，即ξ~N( , )，有

P( 80 20) 1
D( )

2
1 10 2 / 20 2 0.75

即收入在60-100元之间的概率值将大于0.75。 为了比较，不妨设本题的收入情况满足正态分布，那么根据正 态分布可以计算：
P(

80
20) P (60

100)
60 80 100 80 Z ) 10 10 P ( 2 Z 2) 0.9544 P(
φ(x)
68.27% 95.45% 99.73%
μ -3σ
μ -2σ
μ -σ
μ
μ +σ μ +2σ
μ +3σ
x
标准正态分布的重要性
一般的正态分布取决于均值和标准差 计算概率时 ，每一个正态分布都需要有自己的正态概率 分布表，这种表格是无穷多的
1. 2.
3.
若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率
=1
.1664
.0832 .0832
2.9 5 7.1 X
-.21 0 .21
Z
正态分布（实例）
【例】设ξ~N(0，1)，求以下概率： (1) P(ξ <1.5) ；(2) P(ξ >2)； (3) P(-1< ξ 3) ； (4) P(| ξ | 2) 解：(1) P(ξ <1.5) = (1.5)=0.9332 (2) P(ξ >2)=1- P(ξ 2)=1-0.9973=0.0227 (3) P(-1< ξ 3)= P(ξ 3)- P(ξ <-1)
第五章
正态分布、常用统计分布和极限定理
常见的连续型随机变量的概率分布
连续型随机变 量的概率分布
正态分布
χ 2分布
t-分布
F-分布
正 态 分 布 正态分布的重要性
1. 由C.F.高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)作为 描述误差相对频数分布的模型而提出
2. 描述连续型随机变量的最重要的分布
X
0 0.12
Z
标准正态分布曲线下面的面积