.. O R
AG
C a
B
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距 r ?
R2（?
a
2
）
，
2
面积S ? 1 L ? 边心距（ r）? 1 na ? 边心距（ r）
2
2
? 完成下表中正多边形的计算(把计算结果填 入表中)：
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
小结： 1、怎样的多边形是正多边形？ 各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形。
2、怎样判定一个多边形是正多边形？
拓展练习
? 1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两 个正六边形的面积之比等于________
? 2．圆内接正方形的半径与边长的比值是 ________
? 3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边 心距是________
? 4．已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的 内接正六边形边长为__________．
? 5． 圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正 六边形的半径为________；边心距为 ________．
? 6、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此 正多边形是( )
A．正三角形
B、正方形
C．正六边形
D正十二边形
内接正多边形； ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交
点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边 形。
二. 正多边形有关的概念
E
D
正多边形的中心: 一个正多边形的外接 圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
.半径R
F 中心角O
C
边心距r
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的 外接 圆与 内切 圆的圆心。
A
2、OB叫正△ABC的
，
它是正半△径ABC的
外接 圆的半径。
3、OD叫作正△ABC 的 边心距 ，它是正△ABC 的 内切 圆的半径。 B
.O
D
C
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的 中心
5正、方正形方A形BCADB的CD的边内心切距圆的半径OE叫做
9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。 （ × ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形（ × ）
2、证明题。
A
F
求证：顺次连结正六边形 B
E
各边中点所得的多 边形是正六边形。
C
D
求证：正五边形的对角线相等。 A
9
2
?11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口
b最小应是( )
A 3a
B、1 a 2
C. 3 a 2
D. 3 3
正n边形与圆有密切的关系 ,
1.把正n边形的边数无限增多 ,就接 近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
A
D
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
A
E B
H
D
G
C
弧相等
边相等 角相等
F
全等三角形
—多边形是正多边形
定理：
把圆分成n（n≥3）等份： ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的
F
E
A
.. O
rR
D
B PC
由于 ABCDEF是正六边形，所以F
它的中心角等于 360? ? 60?，
6
A
? OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的 半径. B ∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
E
.. O
D
r R=4
PC
在Rt? OPC 中， OC ? 4，PC ? BC ? 4 ? 2 22
A
D
.O
B EC
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72度
DEBiblioteka C.OAFB
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是∠AOB 它的度数是 60度
根据勾股定理，可得边 心距 r ? 42 ? 22 ? 2 3
m 亭子的面积 S ? 1 Lr ? 1 ? 24 ? 2 3 ? 41.6( 2) 22
四、正多边形对称性
1、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
2、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
?9．若一个正多边形的每一个外角都等于 36°,那么这个正多边形的中心角为（ ）
A．36° C．72°
B. 18° D．54
10．将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角， 使它成为正n边形，那么正n边形的面积为（ ）
A (3 ? 2 3)a 2 B、7 a 2 C、 2 a 2 D、(2 2 - 2)a 2
? 7．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的 四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；② 等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图 形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相 同的正多边形都相似，其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D 4个
?8．正多边形的中心角与该正多边形一个内角 的关系是（） A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
24.3 正多边形和圆
观察下列图形他们有什么特点？
正三 角形
三条边相等， 三个角相等 正方形 （60度）。
四条边相等， 四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有 n条边，
那么这个正多边形叫做 正n边形。
想一想：
菱形是正多边形吗?矩形是正多边形吗? 为什么?
已知：ABCDE是正五边形， B
E
求证：DB=CE
证明： 在△BCD和△CDE中
∵BC=CD
C
D
∠BCD=∠CDE
CD=DE
∴△BCD≌△CDE
∴BD=CE
同理可证对角线相等。
三、正多边形的有关计算
中心角 ? 360?
中心角E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
? AOG? ? BOG ? 180? n