时刻 0:00 3:00 6:00
水深/米 5.0 7.5 5.0
时刻 9:00 12:00 15:00
水深/米 2.5 5.0 7.5
时刻 18:00 21:00 24:00
水深/米 5.0 2.5 5.0
三角函数模型的简单应用
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的 函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安 全条例规定至少要有1.5米的安全间隙 (船底与洋底的 距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在 2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那 么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?
正弦函数y=sinx的图象保留x轴上方部分，将x轴下方部 分翻折到x轴上方，得到y=|sinx|的图象
三角函数模型的简单应用
探究三：根据相关数据进行三角函数拟合
例4 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象 叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在 涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
y 5.5 0.3 x 2
2 4 6 8 10
x
三角函数模型的简单应用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模 型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预 测其未来等方面都发挥十分重要的作用。
具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出 相应的“散点图”，通过观察散点图并进行 函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用 这个函数模型来解决相应的实际问题。
6
A, B,因此
x 0.2014, 或 - 0.2014
6y
6
8
xA 0.3848, xB 5.6152 6 A
B y=5.5
C
D
由函数的周期性易得 : 4 xC 12 0.3848 12.3848,
xD 12 5.6152 17.6152 2
y 2.5sin x 5
6
个交点.
通过计算.在6时的水深约为5米, y
此时货船的安全小深约为4.3 8
米.6.5时的水深约为4.2米,此时 货船的安全小深约为4.1米;7时
6
的小深约为3.8米,而货船的安 4
全小深约为4米.因此为了安全, 2
货船最好在6.5时之前停止卸货,
将船驶向较深的水域.
O
y 2.5sin x 5 6 P
O 3 6 9 12 15 18 21 x
24
y 2.5sin x 5
6
三角函数模型的简单应用
由 y 2.5sin x 5 得到港口在整点时水深的近似值:
6
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深 5.000 6.250 7.165 7.5 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754
三角函数模型的简单应用
探究一：根据图象建立三角函数关系
例1 如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近 似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b
(1)求这一天6～14时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.
y T/℃
30
20 10
O
6 10 14
x
t/h
三角函数模型的简单应用
解:(1)最大温差是20℃
O
5
10
15
x
因此,货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出港;或 在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右出港.每次可以 在港口停留5小时左右.
三角函数模型的简单应用
(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同 一坐标系内作出这两个函数,可以看到在6～7时之间两个函数图象有一
(2)从6～14时的图象是函所数求y=出A的si函n(数ω模x+型φ只)+能b的
半个周期的图象
近似刻画这天某个时段
A 1 30 10 10
2
b
1 2
30温注1度意0变自2化变0 ,量因的此变应化当范特围别
1 • 2 14 6
28Biblioteka 将x=6,y=10代入上式,解得
y T/℃
30
3
20
所以
4
10
y
10
sin
8
x
3
4
20,
x
6,14
O
6 10 14
x
t/h
三角函数模型的简单应用
题型总结：
求函数f(x)= Asin(x + )+ b的方法：
A
=
1 2
f
x
max
-
f
x
min
b
=
1 2
f
x
max
+
f
x
min
利用T = 2π，求得ω ω
利用最低点或最高点在图象上,
该点的坐标满足函数解析式可求得φ
(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进
港.
由计算器可得
2.5sin x 5 5.5
6
sin x 0.2
6
MODE MODE 2
SHIFT
sin-1 0.2 =
0.20135792≈0.2014
三角函数模型的简单应用
在区间0,12内,函数y 2.5sin x 5的图象与直线y 5.5有两个交点
也可以利用函数的零值点来求．
三角函数模型的简单应用
例2 画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期.
解
y
y=|sinx|
1
2
2
O -1
周期为π
2
2 x
验证:|sin(x+π)|=|-sinx|=|sinx|
三角函数模型的简单应用
利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得 对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用 方法。显然，函数y=|sinx|与正弦函数有紧密的 联系，你能利用这种联系说说它的图象的作法 吗？
课件演示
三角函数模型的简单应用
解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐
标系中画出散点图
y
根据图象,可以考虑用函数 y=Asin(x+)+h刻画水深与题意 之间的对应关系.
A=2.5,h=5,T=12,=0
由 T 2 12, 得 .
6
所以,港口的水深与时间的关系可用 近似描述.
6 4 2