结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 （a,b）内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数. “某个区间”的含 义，它必是定义域内的某个区间。
例2、求f(x)=x/2-ln(1+x)+1的单调区间
第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性
复习旧知—提问引入
问题1：判断函数的单调性 有哪些方法？
定义法，图象法
问题2：怎样利用函数单调性的定义 来1.讨定义论：其一在般定地义，域对的于单给定调区性间上的函数f(x)，
如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值
x1，x2，当x1<x2时， (1)若 f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函 数.x1-x2与f(x1)-f(x2)同号，即
探究新知
yx
y
y x2
y
y x3
y
y 1 yx
o
x
ox
ox
o
x
函数在R上 （-∞，0） 函数在R上 （-∞，0）
f '(x)10 f '(x)2x0 f '(x)3x2 0 f '(x)x20
（0，+∞）
f '(x)2x0
（0，+∞）
f '(x)x2 0
增函数时有
f (x1) f (x2) 0也即 y 0
f(x1)f(x2)0
(2)若 f(x1)f(x2，) 那么f(x)在这个区间 上是减函数， 此时x 1 x 2 与 f(x 1 )f(x 2)异号,即
f(x1)f(x2)0
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个 值，且x1< x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.
y f (x)
B
o 2 3x
设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x y f (x)
正.而当x=2时其切线
x
斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发
生改变.
由上我们可得以下的结论:
定义:一般地,设函数y=f (x)在某个区间（a，b）内 有导数,如果在 这个区间内 f (x) >0,那么函数y=f (x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 f (x)<0, 那么函数y=f (x) 在为这个区间内的减函数.
解:函数的定义域是(-1,+∞), f(x)1 1 x1. 2 1x 2(1x)
由 f(x)解0得-1<x<1
由 f(x)0即 2(x11x)0,得x>1或x<-1(舍）. 故f(x)的递增区间是(1,+∞);
f(x)的递减区间是(-1,1).
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出 使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交 集.
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
x1 x2
x
减函数时有
f (x1)f (x2) 0也即 y 0
x1 x2
x
这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0 ....2
.. .
总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，
+∞）上单增,切线斜
率大于0,即其导数为
（2函）数求导f(数x)f ’(2 xx)3 ；3x212x1单调递增. 当 f '(x) 0，即 2x1时 ，
（函3）数为解增不f(区x 等)间 式2 ；fx’3 (x )3 >x02，1 解2x集1 在单定调义递域减内.的部分 函（数4）f(x)解2不x3 等3x式21 f2 ’(xx)1<的0，单解调集递在增定区义间域为内(1， 的)部和 (,2) 单分调递减区间为（-2，1） 为减区间． 注：单调区间不以“并集”出现。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f ( x)为常数.
例1.判断函f数(x)2x33x212x1的单调性，
并求出其单调区间.
你因能为小f(结x) 求2解x3 函3x 数2 单12 调x 区1间的步骤吗？
所以 f'(x)6x26x12 （1）当确f '(定x)函0数, 即 yx = f(1 x或 )的x 定义2时 域， ；
知识应用
证明：函数f(x)=1 x
在(0，+∞)上是减函数.
1.本节课我们有什么收获？
2.你是如何利用导数求函数 的单调区间?
知识拓展
应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x3时，f '(x)0; 当x3或x2时，f '(x)0; 当x 3或x 2时，f '(x) 0.
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 y A
(3)判断差的符号(与０比较)，从而 得函数的单调性.
如:函数y=x2－4x＋3的图象： y
02
x
单增区间：（２，+∞）.
单减区间：(－∞，２).
问题3：那么如何求出下列函数的 单调性呢?
(1)yx32x2x;
(2)yxlnx;
(3)yexx1.
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的一些图象来考察单调 性与导数有什么关系：