柯西不等式的应用技巧及练习
柯西不等式的一般形式是：设a1,a2L an,bi,b2L b R，则
其结构对
称，
用极大.应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等, 方法
灵活，技巧性强.
一、巧配数组
观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每 一
个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构 造两组
数：ai,a2L an和bRzL b，便是应用柯西不等式的一个主要技巧.
例 1 已知 x,y,z R且x 2y 2z 5,求(x 5f (y if (z
二、巧拆常数
运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数,
常常需要变形，拆项就是一个变形技巧.
例3 设a、
2
求证：
a b
三、巧添项
根据柯西不等式的特点，适当添补（或加或乘）上常数项或和为常数的项等，也 是运
用柯西不等式的解题技巧.
例4 a,b,c R 求证：-^
b c c a a b
四、巧变结构 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件， 认清其内在的结构特征，
就可达到运用柯西不等式的目的.
b 为非负数，a+b=1
，xi,X2 R
求证:
(axi bx2)(bxi ax2) X1X
2
(ai2 2 a2 an 2)(bi2 b22 L bn2) (aQ a2b2 L aQ)2
当且仅当
a
i
b
i
a
2
b
2
a
—或bl b2 L bn 0时等号成立.
b
n
形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作
3）
2
的最小值.
例2 设x,y, z R，求证：迈
2
2
2x y z_
~~2
z
722
2
当这两组数不太容易找到时,
b
、 c为正数且各不相等,
2 2 9
b c c a a b c
形式结构,
例6 a、
但是只要我们改变一下式子的
例7 设a1 a
2
a
n
a
n 1
,
求证:
1
例5.若a>b>c，求证： -----
a b
练习题
t X2 y2 2z2.
（1）
求t的最小值；
⑵当t 1时’求z的取值范围
2 （2010年浙江省第二次五校联考）已知a,b,c R , a b c
2
(1)求a 1 4b2 9c
2
的最小值;
a^/bc bVac eVab 的最大值.
1
4 （浙江省镇海中学高考模拟试题）已知X, y, z
是正数，且-
x
求右1一 一勒—的最小值;
X X 2y y
1 1 a1 a 2 a 2 a 3 an 1
a
n 1
0
an 1 a
1
1. （2009
年浙江省高考自选模块数学试题
）已知实数x, y, z
满足x
y 2z 1,设
1
。
⑵求证：/屈Tb屈
1 3/3
Tc Va 2
3 （2010
年杭二中高三年级第三次月考
）
已知正数a,b,c满足:
ab
be ca 1
，求
1,
5 （金华十校2009
年高考模拟考试）若a,b,c R
求证： ___________
b
_____ 1
b 2c c 2a a 2b
7（
浙江省镇海中学高考模拟试题
求丄丄丄值.
x y y z z x
1
⑵
证明：对任意的
x 0,an ---------------
1 x
6 （2010年宁波市高三模拟测试卷 ）已知a,b,c为正实数，且a
证明：(a c)
2 (b a)2 (c b)2
a b c
4(a
c）
2
，并求等号成立时
a,b, c的值.
若0 x,y,z 1,且 xy yz zx 1 ,
求证:
y
2 J3x
8（2010年金华十校高考模拟考试）设正数x，y
，
z
满足3x
4y 5z 1
9 （2008
年陕西高考理科数学压轴题
）已知数列a
n
的首项
a
1
an1 »，n 1,2,
.(1)求 an
的通项公式;
3
x ,n 1,2,
1 x 3
已知实数a,b,c,d满足a b c d 3, a
2 2b2 3c2 6d2
5试求a的最值
.
的取值范围
.
15 设P是 ABC内的一点，x,y,z
是p到三边a,b,c的距离,
的半径，证明：攸jy Vz y
1——Va2—b2—c2
16
求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的 a2 b2 c2 4忌，其中a,b,c为三
角形三边长，S为三角形的面积
.
10
11 求函数y 4仄"2 y/9~3x的最大值.
12
求函数y a si nx bcosx的极值，其中a,b是常数
.
已知a, b,c, R为常数，当x
2
13
最大值与最小值
.
2 2 2
y z R 时，求函数 f x,y,z ax by cz的
14
已知对于满足等式x2 3y
2
3的任意数，对 X, y恒有
ax
y 2，求实数a
R是ABC外接圆