否则一处的车辆将会越积越多。
例4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度。
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 距离 的平方成反比，即
•例3 交通马路灯的宽在度 绿D是灯容易转测得换的，成问红题的灯关键时在 ，于L有
一个过渡的和状L确2定，态。其为中—确L定1—是L司亮，机还在一应发当段现将黄时灯L划亮间分及为判的两断段应黄：当L灯刹1 。
请分析黄车灯的反应应时当间内亮驶多过的久路程。，L2为刹车制动后 车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司
间？请思考一下，载天十段开达五本5路会分着他分分的合钟题他就钟钟缘点。开不时。解故，往会间似而，故答会提从此乎故相人合前何中由遇条提地回而相时隐件前点家来遇他了不含，了？点已三到步那。够了十会行么提哦分哪合了这前钟点二一的。些到需十。假设
？
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
点测得黑匣子方向后 ，到B点再测方向 ，AB 距
离为a ，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得
出 d = asinα/sin (α+β) 。需要指出的是，当
黑匣子位于较远处而 α又较小时，α+β可能非
常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又
恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会
很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。
比例系数不随行星而 改变 这其中（必绝定对是某常一数力）学
规律 的反映，哼哼，我 要找出它。。。。
简单推导如下：
如图，有椭圆方程 : 矢径所扫过的面 积A的微分为:
由开普勒第二定 律: 立即得出 : 即: 椭圆面积
由此得出
常数
常数
行星
r
太阳
我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点， 沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：
机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长
将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是
交管部门早设已想定一好下的黄，灯目的的作是用使是交什通么流，量不最难大看，
可另建模型出研，究黄，灯从起而的L是1警=v告*t1的。作刹用车，距意离思L是2
既可用曲线马拟上合要方转法红得灯出了，，也假可如利你用能牛停顿住第，二请定
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
（请自己据此给出严格证明）
程模型、优化模型等
研究课题的实际 人口模型、生 态系统模型 、交通
范畴
流模型、经 济模型、 基因模型等
§1.4 数学建模与能力的培养
仅最近几年里，我校
学生都在只参加了半
①数学建模实践的 每年一左步右中的都学蕴习含和着实能践力上的 锻炼，在
调查研究阶段，需 要后用，到就观在察国能际力性、的分竞析能力和数据处理
Ø 数学建模（Mathematical Modeling）
应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。
例（万有引力定律的发现 ）
开普勒三大定律
十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 1.行星轨道是一 个椭圆，太
丹麦著名的实验天太文阳学位于家此第椭谷圆花的了一二个十焦多年时间 观察纪录下了当 点时上已。发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助2.手行星开在普单勒位对时这间些内资料扫进过行的了九年时间 的分 析计算后 得面出积著不名变的。Kepler三定律。 牛顿根据开普勒3.三行定星律运和行牛周顿期第的二平定方律正，比利用微积分 方法推导出牛顿第于三椭定圆律长即半轴万的有三引次力方定律，。
Ø2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过
对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必 要实息的(体数精信据炼) 、简化假，设提出若建干模符合客求观解实际的假验设证。 应用
Ø 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻
划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即
建立数学模型。 Ø4.模型求解。
黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离 。设在 同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2， 两测量点间的距离为 a，则有
方法二
在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 C 做到，主要缺点是结果对照度测
A
α β
a
B
量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很
大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A
总距离为
，
故砖块向右可叠至 任意远 ，这一结果多少 有点出人意料。
例6 某由人于住距在离某不公同，交设线附A到近C行，驶该3公1分交线路 为在A、钟B，两B到地C间要运行驶行，30每分钟隔，1考0分察一钟A、B两 地各发个出时一间班长车度，为此10人分常钟的在区离间家，最例近的 C
如，可以从 A方向来的车驶 离C站
在难以得出解析解时，也 应当借助 计算机 求出数值 解。
Ø5.模型的分析与检验。
§1.3 数学模型的分 类
分类标准
具体类别
对某个实际问题 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 了解的深入程度
模型中变量的特 连续型模型、离散型模型或确定性
征
模型、随机型模型等
建模中所用的数 初等模型、微分方程模型、差分方
学方法
进而有 加速度
以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的次，得 将前面得到的结果 代入，即得 也就是说行星的加速度为
和焦参数
由开普勒第三定律知
那么就导出著名的 万有引力定律：
为常数。若记
§1.2 数学建模的一般步骤
Ø1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。
继续而不是别人工作2的00重3年复各，一你项可）以、把1某8 些已知的研究结
果用作你的假设，去项探一索等新奖的、奥1秘0项。二因等此我们还应当学会
在尽可能短的时间 内奖查的到好并成学绩会。我想应用的知识的本领。
③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
点等车时，开他始发，现在了其后一的个令9分他钟感内到到奇达的怪的现 象：在乘绝客大见多到数先情来的况车下均，为先B到开站往的A的总，是由 B去A的仅车有，最难后道1由分钟B到去达A的乘车客次才多见些到吗？请
你帮助由他A来找的一车下先原到因。由此可见，如果
此人 到C站等车的时间是随机的，
则他先遇 上B方向来的车的概率为 AB发9出0%车。次显然是一样多的，
能力等。在提出假设赛时（，美又国需大要学用生到数想学象力和归纳 简化
能力。
开建设模数竞学建赛模）课中的主交要出目了的为了提高学 生的综合非素常质出，增色强的应研用究数论学知文识，解决实际问
②在真正开始自题己的本的领夺研。得究了之特前等，奖还兼应当尽可能先了解一下
前人或别人的工作，I使NF自OR己MS的奖工2项作（成19为99别年人、研究工作 的
数学建模概论
浙江大学数学建模实践基地
§1.1 数学模型与数学建模
Ø 数学模型（Mathematical Model）
是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客 观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一 现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
下接第二章
§1.5 一些简单实例
•例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然
然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早
了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他
的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他
比平时提前了十解会分合了钟点。换显，然到假一又是如种家从由他想会于，的法合节妻，问点省子问返了此遇回题从相人到就相遇他迎遇共点点后刃这步到仍而一行了多长时
/v。
D
已过线的车辆，则应当保证它们仍能 穿过马路。
L
例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，
某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗 一下，再放不进妨热可水以提池出洗以涤下 简，化水假温设：不能太高， 否则会烫手（盘，1子）但吸水也热池，不、盘空能子气太的吸大低热小不，、计否材，料则只相考不同虑干净。 由于想节省（开2）支盘，子餐初始馆温老度板与气想温了相解同，一洗池热水 到下底这可一以问可问准究洗题见题备的完（度（常要多。建深，有34）后为数立入））少假关T的。什程水每1设，盘温（盘？妨同一一，么度那你然素意大池个条还不洗洗冲了根衡易一下这度假子盘，叠清最子样有么想应都只约中盘件和难盘过洗，据定回下瓷一与设有子均盘洗终的关热建当考是可的子，看子的，而上律答一盘的你假水我大是为子。换模，水一把虑想以水的出的，更是述，了池的提准请设温们小怎瓷浸水型即为个水进了洗量洗，数其换因简餐，水吸出备甚相了吗样质泡时你以在什较池去解多为涤是量后热为化馆当的热不利至同解洗菜在的及你么精、，一少常时?帮水可水假老然质系用。可水是到的盘热温仅你提会细空但下盘数间能并设板，量数哪他盘以的不什：，水度和准出变的气餐一子，?还非，的你是和△些子去温够么盘洗中为你建假冷模等馆池，开…会因利问还多质T知是掉度热样子涤，设T是研备呢型吸老热始…模再为用题应少量杀先在了2的大时然识时一的研？，热板水不温…用水热就当，等鸡分用。决盘小先后，个、假你的的平清太量很调查。冷不子相将析定如当因原均水脏守容查一水一