3．两直线交叉
交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组 平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即不符合 点的投影规律。
重影点 反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不 符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。
4．两直线垂直
一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直， 但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：
三、正投影的基本性质
1. 实形性
2．积聚性
∟
三、正投影的基本性质
3.类似性
4．平行性
三、正投影的基本性质
5．定比性
6．从属性
3-2 三视图的形成及其投影关系
一、 三视图的形成
1. 三投影面体系的建立
物体的一个投影不能确定空间物体的形状。
怎吗办？
建立三面投影体系
2．三视图的形成
主视图
左 视图
[例3-4] 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。
作图步骤如下：
1.自原点O沿OX轴向左量取x=15,得点 ax 2.过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向下量取y=10,得点A的水平投影a 向上量取z=12,得点A的正面投影a
3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a 。
★ 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
[例3-11] 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
[例3-12] 求铅垂线MN与一般位置平面△ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共 有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
[例3-13] 求铅垂面和一般位置平面的交线 分析： 作图：
判可见性：
[例3-14] 求两正垂面ABC和DEF的交线 分析： 作图：
交线应在 两三角形的公 共部分。
判可见性：
三、直线与平面、平面与平面垂直
1.直线与平面垂直
一直线如果垂直于一平面上任意两相交直线，则直线垂 直于该平面，且直线垂直于平面上的所有直线。
应 用 举 例
侧平面
3．一般位置平面
主视图投射方向
[例3-8] 分析图所示立体各平面的位置。
主视图投射方向
(a)立体图
(b)三视图
(1) △ABC是水平面。 (2) △DEF是侧垂面。 (3) 侧面ACDE是一般位置平面。
三、平面上的点和直线的投影
1. 平面上的点 点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。
2．平面上的直线
直线在平面内的条件是：通过平面内的两点或通过平 面内一点并平行于平面内的 另一直线。
(a) 通过平面内的两点
(b) 过平面内一点且平行 于平面内的一直线
[例3-9] 如图3-39a所示，已知平面△ABC上点M的正面
投影m ，求点M的水平投影m。 分析：利用点、线从属关系求出M的水平投影m。 作图：
投 射 方 向
90°
2. 特性
中心投影法
物体位置改 变，投影大 小也改变。
投影特性
● 投射中心、物体、投影面三者之间的相 对距离对投影的大小有影响。
● 度量性较差。
● 用于建筑图样中的透视图绘制。
物体位置改 变，投影大 小不改变。
平行投影法
投影特性
● 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 ● 度量性较好。 ● 工程图样多数采用正投影法绘制。
点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即 aa ⊥OZ；
水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，即 a a x = aaz
[例3-3] 根据点A和B的两个投影求第三个投影。 （二求三）
求法：
a:
长对正 宽相等
:
高平齐 宽相等
二、点的投影与空间直角坐标的关系
空间点A到W面的距离，等于点A的x坐标；即： 空间点A到V面的距离，等于点A的y坐标；即： 空间点A到H面的距离，等于点A的z坐标；即：
⑴ AB⊥BC(垂直相交)
a′ b′
c′
⑵ AB⊥CD(垂直交叉)
c′
a′
b′
o
a
b
x
c
o
d′
x
cd a
b
⑶ 直角投影定理：
如果两直线垂直，其中一条直线是某一投影面平行 线时，两直线在该投影面上的投影垂直。
c′
a′
b′
Q
d′
o
x
B C
D
c b
Ac
b
d
a
d
a
AB⊥CD
证明:
3-5 平面的投影
一、平面的表示法
影上，反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点 一定在直线上。
已知直线AB的点C的水平投影c ，求另两投影 。
⒉ 定比性
点分割线段成定比，则分割线段的各个同面投影之 比等于其线段之比。
[例3–6] 已知侧平线AB的两投影和直线上点S 的正面投 影，求水平投影 。
方法一
方法二
四、两直线的相对位置
[例3-10] 已知平面五边形ABCDE的正面投影和AB、 AE边的水平投影，试完成五边形的水平投影。
分析：利用在△ＡＢＥ上取点的方法完成水平投影。
作图
C B
I
A
E
3-6 直线与平面、平面与平面的相对位置
相对位置包括平行、相交和垂直三种情况:
一、平行问题
包括
① 直线与平面平行 ② 平面与平面平行
对于垂直于 特殊位置平面的 直线一定为特殊 位置直线。当直 线垂直于投影面 垂直面时，该直 线平行于平面所 垂直的投影面。
★我们只讨论直线或平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
2.平面与平面垂直
如果直线垂直于平面，则包含此垂线所作的任意平面 必垂直于该平面。
当两个互 相垂直的平面 同垂直于一个 投影面时，两 平面有积聚性 的同面投影垂 直，交线是该 投影面的垂直 线。
c
●
c
●
a●
a●
a●
c
●
d
●
● b ●b
a●
A● b
●b a●
● b
●b
C
●
a●
d
●c
不在同一直 线上的三点
●c
B
直线及线 外一点
●c 两平行直线
c
●
a●
● b ●b a●
●c
两相交 直线
c
●
a●
● b ●b a●
●c
平面 图形
二、各种位置平面的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
左视图：反映上、下和前、 后位置关系。
二、三视图的画法
[例3-1] 画图3-15所示立体的三视图。
构成分析 作图：
(a) 画底板的三视图 (b) 画切槽的三视图 (c) 画立板的三视图 (d) 加深后的三视图
3-3 点的投影
一、点的投影规律
a a 点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即
⊥OX；
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前 后、左右位置关系。
[例3-5] 已知点A的三面投影，又知另一点B对点A 的相对坐标△X=-10，△Y=5，△Z=－5，求点B的 三面投影。
无轴投影
A B
四、重影点的投影
如果空间两点处于某一投影面的同一条投射线上时, 就有两个坐标相等，一个坐标不相等，则两点在一个投 影面上的投影就重合为一点，此两点称为对该投影面的 重影点。
a c
ac
b d
e
d b
e
e f
f e f
h
h f
二、相交问题
包括
① 直线与平面相交 ② 平面与平面相交
⒈ 直线与平面相交
直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。
要讨论的问题：
● 求直线与平面的交点。
● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。 解决问题的方法:
当直线或平面与某一投影面垂直时，其投影有积聚性， 交点的投影必定在有积聚性的投影上，由此直接求得交点的 一个投影，再根据点在直线或平面上的投影特性，求出另外 的投影。
要讨论的问题：
● 求两平面的交线。 ● 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。
解决问题的方法:
若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行 面时，则可利用该平面有积聚性的投影，在有积聚性 的投影图上直接求得交线，再根据交线是两平面的共 有线，求出另外的投影。
★我们只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
3-4 直线的投影
直线的投影一般仍为直线，特殊情况下积聚为点。
B
A
一、直线的表示法
求作直线的投影，实际上就是求作直线两端 点的投影，然后连接同面投影即可。
二、各种位置直线的投影特性
投影面平行线
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
投影面垂直线 垂直于某一投影面
正平线（平行于Ｖ面） 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）
⒈ 直线与平面平行
直线与平面平 行的几何条件是：
直线平行于平面 内的一条直线。
线面平行问题就归结 为: ①面上取线和②线线 平行的两问题.
2. 平面与平面平行
① 若一平面上的两相交 直线对应平行于另一平 a 面上的两相交直线，则 这两平面相互平行。
a
b c d
c d
b
② 若两投影面垂直面相
互平行，则它们具有积 聚性的那组投影必相互 平行。
1. 分类 中心投影法
投影法