第8章 量子力学若干进展
8.1 复习笔记
二十世纪初物理学初创量子力学和相对论，它们是当代物理学研究的两大基石，尤其是量子力学，影响着物理学研究的方方面面，也已成为物理学研究工作者的日常工作用语，虽然量子力学自身一直发展着，但还存在着很多未解之谜。

相比于经典物理，量子力学有着令物理学家着迷的事情，却又能与物理实验结果完美符合。

对于量子力学的不可思议之处，物理学家费曼曾经说过：“我可以肯定，在这个世界上没有人真正懂得量子力学。

”的确如此，量子力学是一门美妙的学问，一定不要仅仅把它当做一个考试的科目。

在量子力学的世界，有着很多有趣的问题去思考、去发掘。

本章节选了量子力学中典型的三方面内容（朗道能级、AB 效应和Berry 相位）。

虽然这些都不是考试的重点内容，但值得对量子力学感兴趣的读者认真阅读，进一步体会量子力学不同于经典物理的神奇之处。

一、朗道能级 1．能级推导
电子在均匀外磁场B （沿z 方向）中，取朗道规范后，得定态薛定谔方程
ψψψE p p y c B e p m H z y x =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2
22
21
鉴于力学量（H ⌒
，p ⌒
x ，p ⌒
z ）互相对易，得相应本征态为
)(),,(/)(y e z y x z p x p i z
x
χψ +=
其中，χ（y ）满足谐振子能量本征值方程（平衡位置在y 0）
22
222
02d ()()()()()()2d 22z p m eB y y y y E y m y mc m
χχχ-+-=- 其中，0||x
cp y e B
=。

由此可得出朗道能级
2,1()22
z z p n
c p E n m ω=++
2．结果讨论
（1）从经典观点出发：电子沿磁场方向做螺旋运动。

从量子观点出发：电子沿磁场方向做自由运动，在xy 平面内绕z 轴旋转。

（2）磁场对能量贡献1||
()
2z e n B B mc
μ+=-，μz ＜0称为朗道抗磁性，与电荷正负无关，是自由带电粒子在磁场中的一种量子效应。

（3）二维电子气的朗道能级简并度是外磁场φ中含元磁通量子（0||
hc
e ϕ=）数目。

二、阿哈罗诺夫-玻姆效应
在经典电动力学中，场的基本物理量是电场强度E 和电磁感应强度B ，势A 是为了方便引入的，并不是真实的物理量。

但在量子力学中，势A 具有可观测意义。

1．实验及其现象
如图8-1-1，电子束从电子枪S 出射，流经双缝和两条路径P 1，P 2到达屏上。

在两条路径中放置一个垂直纸面的很长的电流螺线管，管内磁场强度B 垂直纸面向外（取为z 轴）。

当螺线管通以电流时，屏上出现的干涉条纹产生了移动。

图8-1-1 阿哈罗诺夫-玻姆效应实验示意图
2．现象讨论
当螺线管内有磁通Φ时，电子经过的外部空间B ＝0，但A ≠0时，因为对包围螺线管的任一闭合回路路径积分有
d A l ⋅=Φ⎰，矢势A 可以对电子发生相互作用。

因此，A-B
效应表明矢势A 具有可测量的物理效应。

它可以影响电子束的相位，从而使干涉条纹发生移动。

三、贝利相位
量子力学中最重要的是概率幅的存在，而在实验中只能观测到概率幅的模方，因此，存在相位的变化并不影响模方，它是所有干涉现象的根源。

1．贝利相位的引入
在绝热变化过程中，系统每一瞬间都是准静止的，满足瞬时定态薛定谔方程
H ⌒
（R （t ））|n （R （t ））〉＝E n （R （t ））|n （R （t ））〉 其中，〈n （R （t ））|m （R （t ））〉＝δmn 。

可以解得
()()()
()()
m
m i t i t t e e
m R t γ
αψ=
其中
()()0
1
d t
m m
t E R t α''=-
⎰
称为动力学相位。

()()()
()()0
d t
m t i t m R t m R t t γ∂
'''='
∂⎰
称为贝利相位，是实的。

2．贝利相位的意义 首先引入R 空间的“矢势”
()()()
m R A R i m R m R =∇
则贝利相位γm （C ）可表示为
()()d m m m S
C S B R γϕ=-⋅=-⎰⎰
上式说明贝利相位是参数空间磁场强度的磁通量的负值，与演化路径的几何结构有关，又称几何相位。

其中
()()
()()()()()()
()()2
Im m m R R n m
m n B R A R m R H n R n R H m R E R E R ≠=-∇⨯∇⨯∇=-⎡⎤⎣⎦
∑
称为参数空间的磁场强度。

8.2 课后习题详解
本章无课后习题。

8.3 名校考研真题详解
本章非重点，相关知识点在考研试题中涉及较少，可做选择性阅读。