H2
i
max
k max
ln
i
max
k max
欲使（5）式有大信息量需满足：
dH2 0 d 1 d2H2 0 d 2
1
欲使（5）式有最大信息分辨率需满足：
d2H2 0 d 2
2
由（5）、（6）式得：
（5）
（6） （7）
dH2
d
i k max i k max
2
ln
x0 k ：猪肉价格
四、符号及变量说明
x1 k ：大米价格
2
x2 k ：鸡蛋价格 i k ：关联系数
x3 k ：土豆价格
：分辨系数
ri ：关联度
五、模型的建立和求解 5.1 问题一模型的建立和求解 5.1.1 价格曲线图
为了直观分析 2010 年 1 月-2011 年 8 月各月猪肉、大米、鸡蛋、土豆四种 消费品价格之间的关系，根据附表一用 excel 制成如下图形：
7
图二 初始化数据价格曲线图
从图中可以看出，经过灰色关联分析后，鸡蛋价格曲线与猪肉价格曲线发 展趋势十分接近；土豆价格曲线与猪肉价格曲线差别较大。因此，从关联度大 小和初始化数据价格曲线图均可得出猪肉价格对鸡蛋价格的影响最大，对大米 和土豆价格影响度依次减小。
5.2 问题二模型的建立和求解
GM(1,1)模型
二、问题分析
1. 要量化分析猪肉价格对其他相关消费品价格的影响，首先在居民日常消费
品粮食、肉禽及其制品、蛋类、鲜菜中，我们选取该四类中的典型代表大米、 猪肉、鸡蛋、土豆作为研究对象，假设其他种类都不影响所选种类。
2.为评价猪肉价格对其他消费品的影响，可以通过其他消费品价格曲线与猪肉 价格曲线地符合程度来直观地评价受影响程度。而且通过计算其他消费品与猪 肉的关联度的大小来量化分析其他消费品收影响程度，从而使结果更为精确可 靠。
可见关联度是把各个时间的关联系数集中为一个平均值，从而可以把过于 分散的信息集中起来处理。
得出附录中表三初始化数列的关联度见下表： 表一 各初始化数列的关联度
大米 r1
鸡蛋r2
土豆r3
0.562
0.574
0.456
由表可知 r2 r1 r3 ，即鸡蛋价格的关联度最大，达到了 0.574，大米的关 联度也达到了 0.562。把猪肉，鸡蛋、大米和土豆的初始化数据（见附表三） 绘图如下。
问题一 采用中华人民共和国统计局 2010 年 1 月至 2011 年 8 月各月猪肉价格 的数据，避免使用更早期受禽流感等影响的猪肉价格。同时，粮食、肉禽及其 制品、蛋类、鲜菜作为居民日常消费品，我们选取该四类中的典型代表大米、 猪肉、鸡蛋、土豆作为研究对象。通过灰色关联分析建立模型，量化分析猪肉 价格对大米、鸡蛋、土豆的影响。基本思路是，先通过 excel 软件制出四种消 费品价格曲线图即序列曲线，然后细化计算关联程度的大小。其中，分辨系数 的取值范围为 0,1 ，一般情况取 0.1～0.5，通常取分辨率为 0.5。由于分 辨系数会影响关联序的排列，不应简单套用 0.5，因此本文对分辨率的取值 做了详细分析和选择，推导出的最佳分辨系数 在 0.15 和 0.25 之间，因而本
因此，得到附录中表一的初始化数列，见附录中表三。
关联系数这一指标描述了比较数列与基准数列在某一时间的关联程度。但 是每一时间都有一个关联系数就显得过于分散，难以全面比较。因此，下面定
义比较数列 xi 对基准数列 x0 的关联度来衡量系数因素间的关联程度大小。
ri
1 n
n
i
i 1
k
（11）
其中 ri 为比较数列 xi 对基准数列 x0 的关联度。
其中， k 表示月份， x0 k 表示猪肉价格 x0 在 k 月份的价格，假设另外有 m
个需要与基准因素（猪肉价格）比较的因素数列，称为比较数列
xi xi k k 1, 2, n xi 1, xi 2, , xi n,i 1, 2, , m
k 则比较数列对基准数列在月份 的关联系数定义为
题取 2.0 。从而得到猪肉对大米，鸡蛋和土豆的关联度分别为 0.562,0.574,0.456。而且结合图二综合考虑得出猪肉价格变化对鸡蛋价格影响
最大。
问题二 要预测未来一段时间内猪肉价格的走势，由于猪肉价格是离散随 机数，经过数据的处理，变成随机性明显削弱且较有规律的生成数列，利用这 一性质建立微分方程形式模型，即灰色系统模型。于是建立灰色系统 GM(1,1) 预测模型，对猪肉价格在未来一段时间内的走势进行预测，得到的结果为猪肉 价格在 2011 年 9 月-2011 年 12 月 4 个月呈现缓慢递增趋势，得到具体的数据 如下：
设有原始数据数列 x0 x0 1, x0 2, , x0 n ，做一次累加，得生成数
列
x1
x0
1 ,
2
x0 m,
,
n
x0
m
m1
m1
x1 1, x1 1 x0 2, , x1 n 1 x0 n ，
定义 x1 的灰导数为
d k x0 k x1 k x1 k 1 。
令 z1为x1 的均值数列，即
3
价格曲线图这种直观分析只能粗略判断四种消费品价格之间的关联程度， 但无法准确判断关联程度的大小，也就无法准确得出猪肉价格对大米、鸡蛋和 土豆价格的影响程度。因此建立灰色关联分析模型。
5.1.2 灰色关联分析
(1)选择猪肉价格 x0 作为比较基准， x0 可以表示为数列，称为基准数列。
x0 x0 k k 1, 2, n x0 1, x0 2, , x0 n
图一 价格曲线图
从价格曲线图可以看出，猪肉价格曲线在 2010 年 2 月-5 月呈现明显下降 趋势，在 2011 年 6 月-8 月呈现明显上升趋势，在其它时间段平缓增加。鸡蛋 价格曲线大多处于平稳状态，2010 年 5 月至 2011 年 6 月间鸡蛋价格与猪肉价 格的增长趋势比较接近，变化斜率也相近，从而关联程度也越大。而大米和土 豆价格曲线与猪肉价格的增长趋势相差较远，关联程度也就越小。因此，判断 出猪肉价格对鸡蛋价格的影响较大，而对大米和土豆价格影响较小。
为了保持关联系数和关联度量纲的一致，因此先对数据做初始化处理，另 外，为了便于比较，还要求所有数列有一个公共的交点。
构造初始化数列。设原始数据数列为 x x0 1, x0 2, , x0 n ，
则可以构造它的初始化数列为 x 1, x2 x1, , xn x1 ，这个初
始化数列显然满足无量纲化条件。并且，如果所有原始数列都构造成这样的初 始化数列，则必然有一个公共交点 1.
因此可知，确定分辨系数仅需计算 x k 和 max 即可。根据表一的原始数 据进行处理， x k 及 1 的计算结果见附录中表二。
6
从而得出： 1=0.15,则2=e 1 1 2.718 10.15 0.25
于是得到分辨系数取值在 0.15 和 0.25 之间为佳。本题选取 =0.20 。
（3）关联度的计算
将 k 2,3, , n 时刻代入模型，得
x0 2 +az1 2 b, x0 3 +az1 3 b,
+
i k
max
-2=0
令： x i k
max
而： ln 1 x x x2 x3 x4
234
1 x 1
舍去最高次项得： x2 -3x 2 0
解得 x1 1 ， x2 2 。将 x2 2 舍去，即可得：
2
i k
max
这样，就得到了每一时刻 k 时的最大信息量和最大信息分辨率所要求的 值。对于整个系统的全过程，我们仅需求出所有 值的平均值即可。
从信息论的角度出发，分辨系数的取值只要能使关联度具有最大信息量和 最大信息分辨率即可。将 x0 、 xi 作平移变换，使 min 0 ，则（1）式变为：
ห้องสมุดไป่ตู้
i
k
i
max
k max
（2）
4
因为 i k 与 max 的取值区间均在0, max ，因此可在此区间内讨论 i k 和 max 的信息分配。
i
max
k max
1
0
解得： i k max 0（舍去）
1
i k
max
•
1 e 1
（8）
5
对 H2 求二阶导数后得：
2max
ln
i
max
k max
1
i k
2max
ln
i
max
k max
1
+
i k
=0
(9)
2
ln
1+
i k
max
+
i k
max
-2=0
代入 =1 得：
d 2H2 d2
-
2 max
i k
•
e
14
e3
0
因此当 =1 时 P2 即i k 具有最大信息量。
由（7）、（9）式得： i k max 0（舍去）
2max
ln
i
max
k max
1
+
i k
=0
（10）
化简后得：
2
ln
1+
i k
max
猪肉价格的影响及其预测
摘要
消费者物价指数(以下简称 CPI)作为衡量通货膨胀的重要指标，坊间戏称 CPI 可解释为“China Pig Index”，可见猪肉价格对 CPI 的重要影响。猪肉作 为一种特殊的商品成为 CPI 的“替罪猪”。问题一鉴于量化分析猪肉价格对其 他相关消费品价格的影响，为了方便分析各消费品价格间动态的关联程度，提 高分析精度，本文没有采用以往的回归分析，而是采用灰色关联分析方法进行 系统分析。问题二为了准确预测猪肉价格在未来 4 个月的变化，通过建立灰色 系统模型对 2010 年 1 月至 2011 年 8 月各月猪肉价格进行处理，从而得出预测 模型。