不规则分布数据网格化和网格数据绘等值线图程序
严惠
芬
李长
法
(国家地震局地球物理勘探大队)提要
本丈介绍了用电子计算机绘制平面不规则分布教据的等值线图的数学方法私程序程序中采
用了
按距离加权平均法按方位取点加仪法趋势面残差叠加法及局部加权最小二乘法等多种
曲面
拟合
的方法将不规则分布的数据规则网化程序同时具有绘制居氏点和剖面线的功能文中着重讨论了为
提高计算速度和解的稳定性程序在实现这些计算过程中的一些具休处理方法如采用按条带搜索局
部进行拟合等手段最后结合应用实例甘各种方法的使用情况进行了讨论
等值线法广泛应用于表示各种自然现象如用于表示地形的等高线表示地下水位
深浅的等水位线表示降雨的等雨量线……这些等值线图一般是由实验观测或实地测
量获得的离散数据绘制的由于受各种条件的限制数据点的分布往往是不规则的密
度有时也不能满足制图的需要手工直接根据这些数据绘图或经过插道后绘图是一项繁
重的工作使用计算机绘制等值线图不仅能节约大量人力也缩短了成图周期目前数
据处理经常需要从等值线图上获取平面网格数据而数字化仪从图上得到的数据的分布是不规则的无法直接进行其他计算为满足数据处理和成图的要求我们编制了不规则分布数据网格化和网格数据绘等值线图程序下面分别讨论网格化和绘等值线图程序的数
学方法和
程序
一、网格化方法
专门介绍用曲面拟合的方法将不规则分布的离散数据化为规则数据的书及文
章
很
多,该方法的数学原理及公式的推导这里不多赘述仅给出程序中使用的计算公式及实
现过程中的一些具体处理方法1近点按距离加权平均法和按方位取点加权平均法
由这二种方法得到的曲面是通过数据点的前者仅考虑距网格点最近的N个数据点中原地理研完第四卷98年第期对其的影响即距网格点越近的数据点的值对网格点的值贡献越大后者弥补了前者参加计算的点有可能集中到网格点一侧的不足之处考虑了取点的方向性使得在网格点的不同方向上都有距离最近的点参加计算
。
A近点按距离加权平均法
:
设:网格点(XoYo)的值为2
0
数据点(XiYi)的值为iz数据点(XiiY)到网格点(X。Y。)的距离
d=亿(Xi一Xo)2
+
(Yi一Yo)
“i之z2……
N
权函数:
Wi
或.W
i
N习W121
则:Z。
二
N
习W
i
当di今
。
时
当id“。
时
B按方位取点加权平均法
:
如图A示:设网格点(i」)的值为Z(ij)以(i」)点为原点将平面分为四
个象限再将每个象限分成n等分这样整个平面划分为4n等分然后在每个等分角内
寻找一个距(i」)最近的点其值为iZ;它到i(j)的距离为rilo
则:Z(ij)=艺CilZi:11二1
4n梦*rj
’
其中:Ci
l二
K二4nnrL
Z
L二1
L年K
些4n
叉
2加权.小二乘拟合法图A按照方位取点加权法的方位示意图
该方法与通常的最小二乘拟合法的不同之处是增加了与距离有关的权函数使靠近
网格点(x。y。)的数据点的权比远离(X。Y。)的数据点的权大设拟合函数为二次多项式
f(Xy)=e:+e,x+eay+e一x,+e
。
了:严忍芬李长法不规.Nl分布数据网格化和网格数据绘哥位线图程
序69
一~一...............
拟合值f(xiiy)与实测值iZ的误差
NQ=习
(
f(xiyi)一21)
“
Wi
i=1
其中:N为数据点的总个
数
Wi为权函数是数据点到网格点距离的函数
N兄记为习Wi记为
W
。
i二1
要使Q
=
M
I
N
、二*
。。Q
_
。
,`沙砚才网月匕.下几二r
二v
口、l
即求方程组,
二123、456
。
rC:兄W+C:公xiw+C。公Yiw+c.名X1Yiw+c。名Xi’W+c.名Yi`
w
{”习Z
`
W
{c,乙X`W+C,公X*’W+c:兄X`Y,W+C.习x`’Y,W十c。公x`’W
)+C。艺X`Y`’W”公X`z`
W
…C:习Y`W+C,公X`Y二W+C:公Y`’W+C`名x`Y`’W+c`乏x`’YW
}+C。￡Y,`W二习Y;z*W
}C1EX`Y`W+c,习x`’Y`W+c。习x`Y`’W十c`云x`’Y`’W十c.名x“Y
`
{W+C。云X1Yi吕W=习XIYIZIW
…el名xi:w+e,习x、.w+e,习xi,Y、w+e`公x;`Y、w+e。￡x*`w
{+C犯X;ZY;ZW=它X;22
;
W
…C,乙Y、ZW+C:习XY’W+C:公Y;’W+C一￡X;Y;`W+C。习X`’Y`’W
}+C。￡Yi`W=习Ys
名
2i
w
娜臼产.
权函数W在程序中有4种方式供选用.令:di=(X三一X
。)’+(Yi一Y
.
)
则:W=
1
/(d
i+
“
)
W=1
/
(d
i
+
“)
’
W=
1/
(d
i
+
`
)
`
W=EXp(一。di)/(di+.)
其中`是为防止滋出而
设的小
母甲n.中爪地理研完
…
第四冬1”5年第2期
a为权函数参量
解出C,C:C,C;
C
:
C。
则网
格
点值Z。二C、+CZX
。+C3Y。+C4X。Y。+C。X。、C。Y。
从权函数的表达式可以看出当d一。时尽管加了一个小量。防止溢出但舍入
截断误差仍然很大而且当d态程度大大增加解的稳定性差所以在程序中安排了当d<0lmm就直接取数据点的
值为网格值从计算过程上可以看出该方法兼有趋势面拟合和按距离加权方法的优点既考虑了
全部数据点的趋势变化又反映了局部特征但是每计算一个网格点的值要求解一个法
方程当数据点很多时计算量相当大所以程序在处理中可以将整个平面划分成几个大区在每个区内使用这种方法进行局部拟合在不影响计算精度的情况下减少了形
成法方程的计算时间但该方法仍未减少解方程组的次数在实际的数据处理中大多数情况下是采用下面的方法3趋势面拟合一残差加权叠加法
该方法首先使用全部数据点拟合一张趋势面计算出由该曲而得到的网格值再将趁势面与羚井改值灼残差用距离加权的方法求出网才各值二者之和为所求的网格值
越分面拟合的计算公式见加权最小二乘拟合法令权函数Wi二1即可。残差的分配
采用按距离加权平均法或按方位取点加权平均法从计算过程上分析可知该方法同样兼有趋势分析和按距离加权方法的优点而且仅需解一次方程组由于没有引进权函数该方程组的解比较稳定将残差按距离加权分配弥补了趋势分析造成的局部特征平滑的不足因而应用中该方法的效果比较理想!二面的讨论有一个共同的问题无论采用那种曲面拟合方法从拟合的精度和计
算
量两个方面考虑计算网格点的值时仅使用该点附近半径为R范围内的数据点但由于这些数据汽的分布是不规则的为搜寻这些附近点需要将全部数据点扫描一遍如果ii算球一个网洛点的值都将数据点扫描一遍那将浪费大量的机时程序中安排了先
将不规则分布的数据点进行单方向(如X方向)从小到大排序分段然后再按条带来搜百这些附近点的过程使得搜寻时间大大减少如果在R范围内参加计算的数据点
的点数少于规定值(如在第1种方法少于4第2种方法少于6)时程序能自动逐步地扩
大半径直到参加计算的点大于规定值为止
正如前而所述采用不同的拟合方法得到的结果是有差异的使用中要根据数据
点的分布精度数值的变化等情况杀顾计算精度和计算时间合理地选用拟合方法如对分布较卜勺匀数据精度较高的数据类型采用插值的方法计算效果比较好计算量也小对分布不均匀或数据的精度较低的数据类型采用拟合的方法得到的结果更合理对数据认的依梯度变化较大的数据类型采用趋势面一残差叠加法比较好这是因为参川加权平均分配的值是数据点的值减去拟合值后的残差值解比较稳定应该指
出由于各专业的要求不同数据的类型也各有特点不能仅从数学方法上来确定那一
种方法最合适只有在大量的数据处理过程中不断积累经验才能有效地应用这一数学