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一、有限元法基本思想
有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个简单的单元来表示复杂的对象，
单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据平衡和变形协调条件综合求解。由
于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，Finite
Element Method)。
有限单元方法是迄今为止最为有效的数值计算方法之一，它对科学与工程技术的
提供巨大支撑。
二、有限元法的孕育过程及诞生和发展
▪
在17世纪，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局
部的可加性。
▪
在18世纪，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。
另一位数学家Lagrange提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为
积分表达式的另一途经。
▪
在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运
用位移函数来表达其上的未知函数。
▪
1915年，数学家伽辽金提出了选择位移函数中形函数的伽辽金法方法被
广泛地用于有限元。
▪
1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用位移函数
来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。
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▪
20世纪50年代，飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的
应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组，首先将连续体的机翼离散
为三角形板块的集合来进行应力分析，经过一番波折后获得成功。
(Clough教授参与研究。)
▪
20世纪50年代，大型电子计算机投入了解算大型代数方程组的工作，这
为实现有限元技术准备好了物质条件。
▪
1960年，美国加州大学伯克利分校的R.W.Clough教授在论文中提出了
“有限单元”，这样的名词。值得骄傲的是我国南京大学冯康教授在此前
后独立地在论文中提出了“有限单元”。
三、有限元法计算方法及软件
有限元计算方法作为一种技术更多的与FEM软件的发展紧密的结合起来。方法
不断更新，优胜劣汰，传承和发展。在传统有限元分析的数值计算方法之中，有
直接计算法(DirectSolver)与迭代法(Iterative 所谓快速解法)两种。
常见的有限元软件有：美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、MARC 、COSMOS、
ELAS、 MSC 和STARDYNE，德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的 SYSTUS
等。
显式/隐式有限元法：只需对可以简化为对角阵的质量矩阵求逆，没有增量步内
迭代收敛问题，可以一直计算下去。隐式计算具有时间步长增量较大、每个荷载
步都能控制收敛，避免误差累积、存在迭代不收敛的问题、计算量随计算规模增
大而成超线性增长的特点。相对与隐式显式计算具有时间步长很小、误差累积、
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不存在迭代不收敛的问题、计算量随计算规模基本为线性增长的特点。这种计算
方法的代表软件有ABQUS。
离散单元法：离散单元法也被称为散体单元法，最早是1971年 由Cundall提
出的一种不连续数值方法模型，这种方法的优点是 适用于模拟离散颗粒组合体
在准静态或动态条件下的变形过程。 离散单元法不是建立在最小势能变分原理
上，而是建立在最基本 的牛顿第二运动定律上。它以每个刚体的运动方程为基
础，建立 描述整个破坏过程的显式方程组后，通过动力松弛迭代求解。
刚体弹簧单元法：刚体弹簧单元法(RigidBodySpringMethod,RBSM) 最早由
Kawai于1976年提出，当初提出的意图是以较少的自由度来求解结构问题。它
把体系分解为一些由均布在接触面上的弹簧系 统联系起来的刚性元，刚性元本
身不发生弹性变形，因此结构的变形能仅能储存在接触面的弹簧系统中。由于刚
体弹簧元单元间 的作用力通过单元界面上弹簧传递，可以直接得到界面的作用
力， 因此在岩土界面分析等领域也有着较好的应用。
接触判断法：通过单元之间的相互接触判断得到相互之间的作用力，进而形成运
动方程。因此，快速而准确的接触算法对有限元方法非常重要。由于由于计算过
程中单元往往会发生较大位移，使得原有的块体间的空间拓扑关系发生变化，使
接触判断变得更加复杂。
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无网格法：传统有限元需要构造特定的单元网格来形成位置插值函数，是否可以
让计算机根据节点信息来“自动”形成位移插值函数？无网格法可以实现。无网
格法对函数的要求有：
•
光滑连续
•
影响的节点有限
无网格法常用插值方法有： 移动最小二乘、核函数与径向基函数。整体方程有配
点法、 最小二乘法、伽辽金法。伽辽金法是应用最广、最稳定的无网 格法之一。
XFEM：1999年提出，扩展有限元法(XFEM)，在 Belytschko等学者努力下
XFEM得到长足发展，在ABAQUS的6.10版本软件中得以实现。
四、结构工程领域有限元法的发展趋势
1. 多物理场耦合问题
近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、 磁场、渗流和声场等
问题的求解计算，最近又发展到求解 几个交叉学科的问题。如需要用固体力学
和流体动力学的 有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓“流固耦合”的问题。
2. 线性工程问题到非线性分析问题
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线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如土木工程中 的高层建筑和大跨度
悬索桥的出现，就要求考虑结构的大位 移和大应变等几何非线性问题；
航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，也要考虑材料的非线性问题；
诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，仅靠线性计算理论就不足以解
决遇到的问题，只有 采用非线性有限元算法才能解决。
3. 时变结构及连续倒塌问题
结构不可能天生就存在那里，也不可能凭空消失，所以 结构物的建造或则拆除
过程，均为动态的，在不同阶段可能表现出不同力学性能，其中存在很多复杂问
题。有限元对于此类过程分析，往往根据施工过程，编制时程程序，动态跟踪结
构性能变化。
4. 优化问题：
在有限元中有这几个方面的需求，如边界形状优化、最小质量、等强度、等应变、
动力学参数优化等，优化问题的特点是变量多（几十/数百），许多实际的优化
算法这样多的变量中稳健性还有待提高。
5. 湍流问题：
目前已经有一些较好的方法，如有限体积法等，仍需深入，目前湍流问题实际上
根本不是算法问题，而是介质的物理模型问题；人们对湍流的认识可能还受到目
前科学技术水平的限制。
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五、结语
有限元法不是万能的，关键是其思想，它完美地体现了哲学中局部与整体的关系，
要解决整体问题，必须先研究局部问题， 局部问题研究清楚后，再研究局部之
间作用的关系，然后各个局部在一个统一的坐标尺度下综合，考虑整个系统和外
部的关系，最后得到全局的特征。
有限元方法是我们认识世界的科学工具，但它的哲学含义、方法论含义还远没有
为人们所认识。