保险赔付金额和赔付时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。 这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量， 它依赖于被保险人剩余寿命分布。
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计 算出平均赔付并可预测将来的风险。
假定：(x) 岁的人，保额1元n年定期寿险
基本函数关系
vt vt , t 0
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：A1x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n vt
0
t
pxxt dt
Ax:m
A x m:n
A1
m x:n
m
1
Ax:n
现值随机变量的方差
记：
m年延期n年定期寿险现值随机变量为 z1 m年延期n年定期生存险现值随机变量为 z2 m年延期n年定期两全险现值随机变量为 z3
已知
z3 z1 z2
则
Var ( z3 )
Var(z1) Var(z2 )
m
A1 x:n
m
0 zt fT (t)dt 0 zt fT (t)dt
1
Ax Ax:m
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
m
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2
m
Ax
m
e2 t
fT
(t)dt
所以方差等价于
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
(3) Pr(zt 0.9 ) Pr(vt 0.9 )
=
Pr(t
ln
v
ln
0.9
)
P(t
ln 0.9
ln v
)
60 ln 0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
ln v 0.9 60
ln 0.9 6 ln v 0.9 v6 e6
3、延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡 均给付保险金的险种。
10
10
(2)
2 m
Ax
e0.12t 0.04e0.04t dt 0.04e0.16t
10
0.16
10
0.05047
Var(zt )
2 m
Ax
(m
Ax )2
0.0288
4、n 年定期生存保险
定义
被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保 险金的保险。
假定：(x) 岁的人，保额1元，n年定期生存保险
基本函数关系
vt vn , t 0
vn , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt btvt 0 , t n
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:1n
趸缴纯保费厘定
1
Ax:n
E(zt ) vn n px
e n n px
现值随机变量的方差：
Var(zt ) v2n n px (vn n px )2
insurance
第一节
人寿保险 趸缴纯保费厘定的原理
人寿保险简介
什么是人寿保险
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否 死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保 险标的的一种保险。它包括以保障期内被保 险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障 期内被保险人生存为标底的生存保险和两全 保险。
vt
vt vn
, ,
tn tn
bt 1 , t 0
zt
bt vt
Байду номын сангаас
vt , t n
v
n
,
tn
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax:n
厘定
记：n年定期寿险现值随机变量为 z1
n年定期生存险现值随机变量为 n年定期两全险现值随机变量为
z2 z3
已知
z3 z1 z2
则
1
1
E(z3) E(z1) E(z2) Ax:n Ax:n Ax:n
基本函数关系
vt vt , t 0 bt 1 , t 0
zt btvt vt , t 0
趸缴纯保费的厘定
符号：Ax
厘定：
Ax E(zt ) 0 zt fT (t)dt
0
vt
t
pxxt dt
0
e t
t
px xt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
m
1
Ax:n
7、递增终身寿险
定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特 殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增 函数
特别： 一年递增一次 一年递增m次 一年递增无穷次（连续递增）
一年递增一次
现值随机变量
例2.1
设
S(x) 1 x 100
i 0.1
计算
（1）A1 30:10
, 0 x 100
(2)Var(zt )
例2.1答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
1 100
x
A1 30:10
10 0
vt
f30 (t)dt
101.1t
1
dt
1
1.1t
0 10
0
70 70 ln1.1
假定：(x)岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全
保险
基本函数关系
vt
vt
v
m
,
n
t mn , t mn
0, t m zt btvt vt , m t m n
0 , t m bt 1 , t m
vmn , t m n
趸缴纯保费的厘定
符号： m
Ax:n
厘定
1
A m x:n
n et
0
t
pxxt dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
n 0
e2t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 A1 x:n
n 0
e2t
fT
(t)dt
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Var
(
zt
)
2A1 x:n
(A1 )2 x:n
趸缴纯保费的厘定
假定条件:
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命是独立同分布的。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益 （即预定利率）。
纯保费厘定原理
原则
保费净均衡原则
解释
所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值 正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。 它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在 大数场合下，收费期望现时值等于支出期望 现时值
E(zt )
第二节
死亡即刻赔付 趸缴纯保费的厘定
死亡即刻赔付
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生 保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事件发 生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合， 保险公司通常采用的理赔方式。
由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻， 所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距 保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩 余寿命。
例2.3
假设（x）投保延期10年的终身寿险，保 额1元。
保险金在死亡即刻赔付。 已知
0.06，S (x) e0.04x , x 0
求：
(1) 10 Ax (2)Var(zt )
例2.3答案
(1)
fT
(t)
S(x t) S(x)
0.04e0.04t
m Ax
e0.06t 0.04e0.04t dt 0.04 e0.1t dt 0.147
现值随机变量方差
Var(z3) Var(z1) Var(z2 ) Cov(z1, z2 ) Var(z1) Var(z2 ) E(z1 z2 ) E(z1) E(z2 )
因为
所以
z1 z2 0
Var ( z3 )
Var(z1)
Var(z2 )
A1 x:n
1
Ax:n
例2.4（例2.1续）
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额受益保险 变额受益保险
保单签约日和保障期 期始日是否同时进行
非延期保险 延期保险
保障标的的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保障期是否有限
定期寿险 终身寿险
人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为 不容忽视的因素。
基本符号
(x) —— 投保年龄 x 的人。
——人的极限年龄 bt ——保险金给付函数。
vt ——贴现函数。
zt ——保险给付金在保单生效时的现
时值
zt bt vt
趸缴纯保费的厘定
趸缴纯保费的定义
在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现 时值
趸缴纯保费的厘定
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于
0.092
（2）Var
(
zt
)
2A1 30:10
(A1 )2 30:10