经济数学基础微分函数一、单项选择题1．函数()1lg +=x x y 的定义域是（ D ）． A ．1->x B ．0≠x C ．0>x D ．1->x 且0≠x2．若函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)2(x f 的定义域是( C )．A ．1],0[B ．)1,(-∞C ．]0,(-∞D )0,(-∞ 3．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．11)(2--=x x x f ，x x g =)(+ 1 C ．2ln x y =，x x g ln 2)(= D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g4．设11)(+=xx f ，则))((x f f =（ A ）． A ．11++x x B ．x x +1 C ．111++x D ．x +11 5．下列函数中为奇函数的是（ C）． A ．x x y -=2B ．x x y -+=e eC ．11ln +-=x x yD ．x x y sin = 6．下列函数中，（ C ）不是基本初等函数．A ．102=yB ．x y )21(= C ．)1ln(-=x y D ．31x y = 7．下列结论中，（ C）是正确的． A ．基本初等函数都是单调函数 B ．偶函数的图形关于坐标原点对称C ．奇函数的图形关于坐标原点对称D ．周期函数都是有界函数 8. 当x →0时，下列变量中（ B ）是无穷大量．A. 001.0xB. xx 21+ C. x D. x -2 9. 已知1tan )(-=xx x f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量. A. x →0 B. 1→x C. -∞→x D. +∞→x10．函数sin ,0(),0x x f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( A )．A ．-2B ．-1C ．1D ．211. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 0处（ B ）． A. 左连续 B. 右连续 C. 连续 D. 左右皆不连续 12．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ） A ．21- B ．21 C ．3)1(21+x D ．3)1(21+-x 13. 曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）．A. y = xB. y = 2xC. y = 21x D. y = -x 14．若函数x xf =)1(，则)(x f '=（ B ）． A ．21x B ．-21x C ．x 1 D ．-x 1 15．若x x x f cos )(=，则='')(x f （ D ）． A ．x x x sin cos + B ．x x x sin cos -C ．x x x cos sin 2+D ．x x x cos sin 2--16．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2D ．3 - x 17．下列结论正确的有（ A ）．A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0 B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点 D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p=（ B ）． A ．pp32- B ．--p p 32 C ．32-p p D ．--32p p 19．函数()1lg +=x x y 的定义域是（D ）． A ．1->x B ．0≠x C ．0>x D ．1->x 且0≠x20．函数x x x f -+-=4)1ln(1)(的定义域是（ C ）。

A ．],1(+∞ B ．)4,(-∞ C ．]4,2()2,1(⋃ D )4,2()2,1(⋃21．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．11)(2--=x x x f ，x x g =)(+ 1 C ．2ln x y =，x x g ln 2)(= D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g22．设xx f 1)(=，则))((x f f =（ C ）． A ．x 1 B ．21x C ．x D ．2x 23．下列函数中为奇函数的是（ C）． A ．x x y -=2 B ．x x y -+=e e C ．)1ln(2x x y ++=D ．x x y sin = 24．下列函数中为偶函数的是（ D）． A ．x x y --=22 B ．x x cos C ．2sin x x + D ．x x sin 325. 已知1sin )(-=xx x f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量. A. x →0 B. 1→x C. -∞→x D. +∞→x26．函数sin ,0(),0x x f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = (A )．A ．-2B ．-1C ．1D ．227. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,10,1sin )(x x k x x x f 在x = 0处连续，则=k （A ）． A. 1 B. 0 C. 2 D.1-28．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）． A ．21- B ．21 C ．2 D ．2- 29. 曲线1+=x y 在点(1, 2)处的切线方程为（ B ）． A.2121+=x y B. 2321+=x y C. 2121-=x y D. 2321-=x y30．若函数x xf =)1(，则)(x f '=（ B ）． A ．21x B ．-21xC ．x 1D ．-x 1 31．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ D ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 – x32．下列结论正确的有（ A ）．A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0 B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 33. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p=（ B ）． A ．pp 32- B ．--p p 32 C ．32-p p D ．--32pp二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是 [-5，2] 2．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是 (-5, 2 ) 3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x4．设函数1)(2-=u u f ，x x u 1)(=，则=))2((u f 43- 5．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于 y 轴 对称． 6．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.67．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 28. =+∞→xx x x sin lim 1 . 9．已知x x x f sin 1)(-=，当0→x 时，)(x f 为无穷小量． 10. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a 2 .11. 函数1()1e x f x =-的间断点是0x =12．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是)1,(--∞，)2,1(-，),2(∞+ 13．曲线y =)1,1(处的切线斜率是(1)0.5y '=14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +∞)15．已知x x f 2ln )(=，则])2(['f = 0 ． 16．函数y x =-312()的驻点是x =117．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p =2p-18．已知需求函数为p q 32320-=，其中p 为价格，则需求弹性E p =10-p p 19．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是 ．答案：(-5, 2 ) 20．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．答案：62-x 21．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于 对称．答案：y 轴 22．已知xx x f sin 1)(-=，当 时，)(x f 为无穷小量．答案：0→x 23．已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续则=a . 答案224．函数3212--+=x x x y 的间断点是 ．答案：3,1=-=x x 25. 函数233)(2+--=x x x x f 的连续区间是 ．答案：),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ 26．曲线y =)1,1(处的切线斜率是 ．答案：21． 27. 已知x x f 2ln )(=，则])2(['f = ．答案：028．函数2)1(+=x y 的单调增加区间为 ．答案：（),1+∞- 29. 函数y x =-312()的驻点是 . 答案：1=x30．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p = 。

答案：2p三、计算题1．423lim 222-+-→x x x x 1．解 423lim 222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim 2+---→x x x x x = )2(1lim 2+-→x x x = 41 2．231lim21+--→x x x x 2．解：231lim 21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x =21)1)(2(1lim 1-=+-→x x x 3．0x →3．解0li x →x → =x x x x x 2sin lim )11(lim 00→→++=2⨯2 = 4 4．2343lim sin(3)x x x x →-+- 4．解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →--- = 333lim lim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 2 5．2)1tan(lim21-+-→x x x x 5．解 )1)(2()1tan(lim 2)1tan(lim 121-+-=-+-→→x x x x x x x x 1)1t an (lim 21lim 11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯=6．))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 6．解 ))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x xx --++-∞→ =2323)2(65-=⨯- 7．已知y xx x cos 2-=，求)(x y ' ． 7．解：y '(x )=)cos 2('-x x x =2cos sin 2ln 2x x x x x --- =2cos sin 2ln 2x x x x x ++ 8．已知)(x f x x x ln sin 2+=，求)(x f ' ．8．解 x x x x f x x 1c o s 2s in 2ln 2)(++⋅=' 9．已知x y cos 25=，求)2π(y '； 9．解 因为 5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='=' 所以 5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos 2-=⋅-='y 10．已知y =32ln x ，求y d ． 10．解 因为)(ln )(ln 3231'='-x x y 331ln 32)(ln 32x x x x ==- 所以 x x x y d ln 32d 3=11．设x y x 5sin cos e +=，求y d ．11．解 因为 )(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y x x x x x s in c os 5c os e 4s i n -=所以 x x x x y x d )s in co s 5co s e(d 4s i n -=12．设x x y -+=2tan 3，求y d ．12．解 因为 )(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x 2ln 2cos 3322x x x --= 所以 x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--= 13．已知2sin 2cos x y x -=，求)(x y ' ．13．解 )(co s )2(2s in )(22'-'-='x x x y x x2c os 22ln 2sin 2x x x x --=14．已知x x y 53e ln -+=，求)(x y ' ．14．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y x x xx 525e ln 3--= 15．由方程2e e)1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '． 15．解 在方程等号两边对x 求导，得)e ()e (])1ln ([2'='+'+xy x y0)(e 1)1ln(='+++++'y x y xy x y xy xy xy y x y y x x e 1]e )1[ln(-+-='++ 故 ]e )1)[ln(1(e )1(xy xy x x x y x y y +++++-=' 16．由方程0esin =+y x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '. 16．解 对方程两边同时求导，得0e e co s ='++'y x y y y yy y y x y e )e (c o s -='+ )(x y '=y y x y e cos e +-.17．设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求0d d =x x y ．17．解：方程两边对x 求导，得 y x y y y '+='e ey y x y e1e -=' 当0=x 时，1=y所以，0d d =x x y e e 01e 11=⨯-=18．由方程x y x y =++e )cos(确定y 是x 的隐函数，求y d ．18．解 在方程等号两边对x 求导，得)()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y )s in (1)]sin(e [y x y y x y ++='+-)s in (e )s in (1y x y x y y +-++=' 故x y x y x y y d )s in (e )s in (1d +-++= 19．已知y x x x 2cos -=，求)(x y ' ．解： x x x y 2sin )2(ln 22321+=' 20．已知)(x f x x sin2=，求)(x f ' 解：)(x f 'x xx x x 21cos 2sin 2ln 2+=． 21．已知x xe x y -=2cos ，求)(x y '； 解：)()2(sin 2x x xe e x x y +--='22．已知223sin x e x y -+=，求d y ． 解：)4()(c os s in 3222x e x x y x -+='- d y=dx xe x x x )4)(cos sin 3(222--23．设 y x xx ln 2++=，求d y ． 解：x x xy 12123+-='-dx x x x dy )121(23+-=- 24．设2e 2sin x x y -+=，求y d ． 解：2e 22cos 2xx x y --=' x x x y x d )e22cos 2(d 2--=四、应用题1．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）, 求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ， 116105.0)10(=+⨯='C（2）令 025.0100)(2=+-='xx C ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？2．解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为 q p =-100010，即p q =-100110， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q --(60q +2000) = 40q -1102q -2000且 'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大． 3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？3．解 （1）C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p )=250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令)(p L '=2400 – 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. （2）最大利润 1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L （元）4．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？4．解 （1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-== 利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元5．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？5. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++ （q >0） 'C q ()=(.)05369800q q ++'=0598002.-q 令'C q ()=0，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为C ()140=0514*******140.⨯++=176 （元/件）6．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q ()=++25020102（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 6．解 （1） 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q ++ 'C q ()=()2502010q q ++'=-+2501102q令'C q ()=0，即-+=25011002q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去）， q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．7．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？ 解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ， 116105.0)10(=+⨯='C（2）令 025.0100)(2=+-='xx C ，得20=x （20-=x 舍去） 因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.8．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.解 由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q . 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，且最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）9．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++ （q >0） 'C q ()=(.)05369800q q ++'=0598002.-q 令'C q ()=0，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为C ()140=0514*******140.⨯++=176 （元/件） 10．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求： （1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为 q p =-100010，即p q =-100110， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q --(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且 'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．。