自回归模型的参数估计案例
案例一：
建立贵州省长期个人收入量差距模型。贵州省改革开放以来，对个人收入差距量(Y)的影响因素，主要有收入运用中的收入额(X)以及反映价格变化的居民消费者价格指数(P)。
个人收入量模型可设定为
（1）
其中， 为长期个人收入差距量。由于长期个人收入差距量不可观测，作局部调整:
（2）
42964.60
22863.90
2001
46385.40
24370.10
2002
51274.00
26243.20
2003
57408.10
28035.00
2004
64623.10
30306.20
2005
74580.40
33214.40
2006
85623.10
36811.20
取1阶滞后，Eviews操作及输出结果为：在Eviews建立工作文件和录入数据后，格兰杰因果检验步骤为：
228.1
261690.9
对局部调整模型 运用
由回归估计结果的个人收入量差距模型的估计式：
由参数估计结果 ，得 。
由于 ， ， 。将 分别带入上述三个方程，可求得 ， ， 。最后得到长期个人收入差距模型的估计式为：
估计结果表明：
1收入额对贵州省个人收入量的影响，为0.0357，长期为0.1292，即收入额每增加1元，个人收入差距量将增加0.0357元，长期个人收入差距量将增加0.1292元。
15688.8
201.9
112314.7
2002
17278.0
200.3
131293.9
2003
19746.0
202.7
158996.2
2004
21468.3
210.6
178197.8
2005
24031.7
214.4
194690.4
2006
27072.6
217.7
225347.2
2系检验）
根据宏观经济学可知，可支配收入与消费之间可能存在互为因果的关系。表2中列出了1978-2006年贵州省居民实际可支配收入与居民实际消费总支出的相关数据，下面我们检验1978~2006年间实际可支配收入（X）与居民实际消费总支出(Y)之间的因果关系。
表2
年份
实际可支配收入（X）
居民实际消费总支出（Y）
1978
6678.800
3806.700
1979
7551.600
4273.200
1980
7944.200
4605.500
1981
8438.000
5063.900
1982
9235.200
5482.400
1983
10074.60
5983.200
1984
11565.00
6745.700
1985
11601.70
7729.200
1986
13036.50
8210.900
1987
14627.70
8840.000
1988
15794.00
9560.500
1989
15035.50
9085.500
1990
16525.90
9450.900
1991
18939.60
10375.80
1992
22056.50
2居民消费物价指数对贵州省个人收入量的影响，为7.4557，长期为26.97，即价格指数每增加1个百分点，将导致个人收入差距量增加7.4557元，长期个人收入差距量增加26.97元。
注意：尽管D.W.=1.724407，但不能据此判断自回归模型不存在自相关(Why?)。
由LM检验或者B-G检验可用于检验随机误差项的高阶自相关性。
2039.6
1980
346.2
50.6
2414.3
1981
396.3
51.9
2860.2
1982
439.1
52.9
3180.6
1983
529.8
54.0
3589.9
1984
792.1
55.5
4766.1
1985
987.8
60.6
5905.6
1986
1218.4
64.6
7590.8
1987
1454.5
如果直接对下式作OLS回归
可得如图3的估计结果：
图3回归估计结果
在图3中，D.W=0.959975，查自由度n=30，k=3的D.W.检验表可知dl=1.28，du=1.57，容易判断该模型随机误差项存在一阶正自相关。事实上，对于自回归模型，t项的自相关问题始终存在，对于此问题，至今没有完全有效的解决方法。唯一可做的，就是尽可能地建立“正确”的模型，以使序列相关性的程度减轻。因此，上述个人收入量差距模型的估计式 的设定更“正确”。
11815.30
1993
25897.30
13004.70
1994
28783.40
13944.20
1995
31175.40
15467.90
1996
33853.70
17092.50
1997
35956.20
18080.60
1998
38140.90
19364.10
1999
40277.00
20989.30
2000
步骤1：
步骤2
步骤3：
单击OK后有如图1的检验结果：
图1 X与Y的格兰杰因果关系检验结果
其中， 为实际个人收入量。
将（1）式代入（2）得个人收入量差距模型：
表1中列出了1978年到2007年贵州省个人收入量、收入额以及居民消费者价格指数的相关数据。
表1
年份
个人收入量Y（元）
居民消费者价格指数P（1990年=100）
收入额X（元）
1978
212.0
46.2
1850.0
1979
267.7
47.1
LM检验的Eviews步骤：
1、估计方程
2、在Equation窗口中单击“View”→“Residual Test”→“Serial Correlation LM Test”，并选择滞后期为1，屏幕将显示如图2所示的信息。
图2回归结果
在图2中，LM=0.636639，小于显著性水平5%下自由度为1的卡方分布的临界值 ，因此，可以接受随机误差项不存在一阶自相关性的原假设。
156.7
39976.0
1995
7885.3
183.4
50544.1
1996
8802.0
198.7
61156.6
1997
10177.6
204.2
74914.1
1998
11204.2
202.6
86524.1
1999
13455.5
199.7
93734.3
2000
14652.7
200.6
99371.1
2001
69.3
9032.5
1988
2134.0
82.3
10551.3
1989
2344.0
97.0
14360.1
1990
2644.4
100.0
17680.7
1991
3177.8
103.4
21337.8
1992
4336.0
110.0
26322.9
1993
5864.7
126.2
32943.1
1994
7288.6