函数变形,化为表中所列类型的积分之后再逐项求积分。
©
例6 求 (e x 2sin x)dx
解:原式 e xdx 2 sin xdx e x 2cos x C
例7 求 3x e xdx
解:原式
例如, e x dx e x C
x2dx
1 3
x3
C
C 称为积分常数 不可丢 !
sin xdx cos x C ©
不定积分的几何意义:
f (x)的原函数的图形称为f (x)的积分曲线 .
f ( x)dx 的图形
y
f (x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
©
例1 求 4x3dx
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)在区间 I 上的一个原函数 .
如引例中,
A m
sin
t
的原函数有
A m
cos
t
,
A m
cos
或
arccos x C
(7) cos xdx sin x C
(8) sin xdx cos x C
(9)
dx cos2 x
sec2 xdx tan x C
(10)
dx
sin2 x
csc2 xdx cot x C
©
(11) secx tan xdx sec x C
第四章
不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
©
第一节
第四章
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
©
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
的作用下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
(12) csc x cot xdx csc x C
(13)
axdx
ax C ln a
(14) e x dx ex C
sh x ex ex 2
(15) sh xdx ch x C
ch x ex ex 2
(16) ch xdx sh x C
©
例3+. 求
解: 原式 =
t
3,
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问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
原函数存在定理.
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
(但原函数不一定都是初等函数)
©
定理. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[( x) F( x)] ( x) F( x) f ( x) f ( x) 0
x(t)
1 2
g
t2
v0t
x0
©
从不定积分定义可知:
(1) ddx[ f ( x)d x] f ( x)或 d [ f (x)dx] f ( x)dx (2) F ( x)dx F(x) C 或 d F ( x) F ( x) C
二、 基本积分表 (P119)
利用逆向思维
(1) 0dx C
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先求v(t) 由
知
x
v(t) ( g)d t g t C1
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) g t v0
再求x(t) 由
知
x x(t)
x0 x(0)
o
x(t)
(g t v0 )d t
1 2
g
t
2
v0t
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
故 ( x) F( x) C0 (C0 为某个常数) 即 ( x) F( x) C0 属于函数族 F( x) C .
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定义 2. f (x)在区间 I 上的原函数全体称为f (x)在I上的
不定积分, 记作
其中
— 积分号;
— 积分变量;
若
则
— 被积函数;
(P118)
— 被积表达式.
( C 为任意常数 )
解: 因为 ( x4 )' 4x3 (或 dx4 4x3dx )
所以x 4是4 x 3的一个原函数，因此 4x3dx x4 C
例2
求
1dx x
解 当x>0时， (ln x)' 1 因此
x
1dx x
ln
x
C
( x 0)
当x
<
0时，[ln( x)]'
1 x
(1)
1 x
因此
1dx ln( x) C x
x
4 3
dx
x341
4 3
1
C
3x
1 3
C
例4+. 求
解: 原式=
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
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三、不定积分的性质
1. k f (x) dx k f (x)dx (k 0) 2. [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x) d x
推论: 若
则
n
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为t = 0, 此时质点位置为x0 初速为v0
设时刻 t 质点所在位置为x =x(t) 则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
x x x(t)
x0 x(0) o
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例5 求 (3 x )xdx
解: 原式
3
(3x x 2 )dx
3
3xdx x 2dx
3 1
3 x2 x2 C
2
3 1
2
3
x2
2
5
x2
C
25
注意：1.检验积分结果是否正确,只要对结果求导,
看求出的导数是否等于被积函数,若相等时结果正确, 否则结果是错误的。
2.积分时若积分表中没有这种类型的积分,可以先把被积
合并上面两式，得到
1dx x
ln
x
C
( x 0)
©
例3. 设曲线通过点( 1 , 3 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 3 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 2
o
x
©
例4. 质点在距地面x0处以初速v0垂直上抛 ,不计阻力, 求它的运动规律.
(2) kdx k x C ( k 为常数)
(3)
x dx
1 1x 1C来自( 1)(4)
dx x
ln x
C
1 x 0时 ( ln x ) [ ln( x)]
x
©
(5)
dx
1 x2
arctan x C
或 arccot x C
(6)
dx 1 x2
arcsin x C