ny ty by 0 0 0
nz tz bz 0 0 0
( P n) x (P t) x ( P b) x nx tx bx
( P n) y (P t) y ( P b) y ny ty by
( P n) z d x d (P t) y y ( P b) z d z n z x t z y bz z

T
称为刚体的广义速度矢量，它能完整地刻画任意刚体 在三维空间中的运动。若用差分代替微分，则上式可写为
D dx

dy
dz x y z

T
称为微分运动矢量。 微分运动矢量D在不同坐标系中的表示是不一样的， 在一个坐标系中的微分运动给定之后，如何求出在另 一坐标系中的微分运动？
根据前面齐次变换的学习知道，任意坐标系{T}在参考 系中的表示为：
一般情况下, 雅可比矩阵可以看成是矢量对矢量 的导数,如在上面的例子中：
雅可比矩阵的第i列 表示的是机械臂第i 个关节速度对机械 臂末端速度的贡献
x P 1 J T θ y 1
x 2 y 2
如果有如下所示的n个独立变量的函数
根据差积的性质： a (b c) b (a c) b (c a) （1） a ( a c) 0 （2） 则得到：
0 (n t ) (b n) ((P n) d n) (n t ) 0 ( t b ) (( P t ) d t ) T T 1T (b n) (t b) 0 ((P b) d b) 0 0 0 0
v Zi 0 i
因此得到雅可比矩阵第 i 列为：
Z i Ji 0
（移动关节）
Zi 表示i坐标系Z轴单位矢量在基础参考系中的表示。
对于转动关节 i 的运动，它在终端抓手上产生的角速度为
Z i i
同时在末端抓手上产生的线速度为矢量积 ：
4.1刚体运动与微分运动的变换
v v ω r
A P A oB B P
刚体上任意一点P的 速度＝固连坐标系的 平动速度＋该点P绕 固连坐标系的转动速 度。
其中， ω 因此，

x
y z
T
r rx
B P

ry
rz

T
y rz z ry 0 B ω rP z rx x rz z z ry y rx y
n x n y T nz 0
则T与微分算子的积为
tx ty tz 0
bx by bz 0
px py pz 1
0 T z y 0
z 0
y x
0 0
x
0
v x n x n vy y v z nz 1 0
线微分运动
0 d 0 i 1
角微分运动
利用微分变换式
T d x n x T t d y x T d z bx T x 0 T 0 y T z 0
ny ty by 0 0 0
tx ty tz 0
bx by bz 0
px py pz 1
根据矢量差积的关系有 :
( n) x ( n) y T ( n) z 0
( t ) x ( t ) y ( t ) z 0
( b) x ( b) y ( b) z 0
对于机器人, 雅可比矩阵建立关节速度与手抓速度之间 的关系
J (θ)θ X
设机器人有n个关节, 则雅可比矩阵 ： J (θ)
6n
建立机器人的雅可比矩阵是进行系统运动学分析 的基础,也贯穿于整个机器人学!!!
4.3 机器人操作臂雅可比矩阵建立的方法
（1）方法一——矢量积法 移动关节 i 的运动，它在末端抓手上产生与 Z i 轴相 同方向的线速度，且
即建立起了微分运动在不同坐标系间的变换关系。 以上推导过程和结论对机器人的速度分析，静力学分析， 动力学分析都是非常重要的。
4.2 机器人的速度正运动学方程
例：Planar 2R robot
x l1 cos1 l 2 cos(1 2 ) y l1 sin 1 l 2 sin(1 2 )
设： v 则：
A oB
z 0
x
y rx x ry
0 rz
vx

vy
vz

T
相对速度
牵连速度
v v ω r
A P A oB
B P
可表示为齐次坐标形式：
0 z A vP y 0
z 0
y x
0 0
x
0
v x rx v y ry v z rz 1 1
微分算子
0 z y 0 z 0
y x
0 0
x
0
vx vy vz 1
称为微分算子。
0 S z y
nz tz bz 0 0 0
( P n) x (P t) x ( P b) x nx tx bx
( P n) y (P t) y ( P b) y ny ty by
( P n) z d x d (P t) y y ( P b) z d z n z x t z y bz z
(( P) d ) x (( P) d ) y (( P) d ) z 0
即代表坐标系{T}在参考系中的微分运动。 若令 T 表示坐标系{T}在自身坐标系下的微分算子,则 T 同样表示坐标系{T}在参考系中的微分运动 ，因此
T
T
T
T
即：
T T
T 1
n ( n) n ( t ) n ( b) n (( P) d ) t ( n) t ( t ) t ( b) t (( P) d ) T T 1T b ( n) b ( t ) b ( b) b (( P) d ) 0 0 0 0
写成矩阵的形式有 ：
其中，
f1 x 1 f 2 f J ( x) T x1 x f m x1
f T x J ( x) x y x
f1 x2 f 2 x2 f m x2
f1 xn f 2 xn 即雅克比矩阵 f m xn
另一方面， T 的定义为

T
0 T z T y 0
zT 0
T y T x
xT
0
0 0
T dx dT y T dz 0
得到：
T d x n x T t d y x T d z bx T x 0 T 0 y T z 0
z 0
x
y x
0
斜对称矩阵 (Skew Symmetric Matrix)
斜对称矩阵(Skew Symmetric Matrix)
定义：
nxn矩阵S被称为斜对称矩阵，当且仅当(iff)满足
ST S 0
sij s ji 0,
i, j 1,2,3
根据矢量的正交性和规一化 ，即
nt b t b n bn t
得到：
b t ((P n) d n) 0 b 0 n (( P t ) d t ) T T 1T t n 0 ((P b) d b) 0 0 0 0
l1 sin 1 l 2 sin( 1 2 ) l 2 sin(1 2 ) J l cos l cos( ) l cos( ) 1 2 1 2 2 1 2 1
可以看出, 雅可比矩阵也是关节角变量的函数, 同 样随机器人的位形变化而变化.
y1 f1 ( x1 , x2 , , xn ) y f (x , x , , x ) 2 2 1 2 n ym f m ( x1 , x2 , , xn )
两边求导有：
f1 f1 f1 1 1 2 n x x x y x1 x 2 x n f 2 f 2 f 2 y 2 1 2 n x x x x1 x 2 x n f m f m f m m 1 2 n x x x y x1 x 2 x n
第四讲 机器人微分运动学 (Differential Kinematics)
回顾 上一讲讨论的是机械臂末端位置和姿态与关节变量
之间的关系。称为位置运动学。
本讲目的
介绍机器人运动输入－输出的速度关系。
本讲主要内容
(1)本讲讨论机械臂末端速度、加速度与关节速度、加速度 之间的关系。称为微分运动学。
(2)斜对称矩阵、微分算子、微分运动及其坐标变换； (3)雅克比矩阵(Jacobian) （5S）； (4)雅克比矩阵的求法。
sii 0
注：一般地，把所有3x3的斜对称矩阵表示为:so(3)
SSM的性质： S(k1a+k2b)=k1S(a)+k2S(b) S(a)p=a x p R, S so(3) RS(a)RT=S(Ra) XTSX=0 n