(1) p : a Q;q : a R. p q (2) p : x 2 0;q : (x 3)(x 2) 0. p q
(3) p : xy 0;q : x 0. p q (4) p : 两个角相等; பைடு நூலகம் : 两个角是对顶角. p q (5) p : x是4的倍数;q : x是6的倍数. p q
xy
xy
x y y x 0 xy 0.
引申 ①从命题角度看
㈠若p则q是真命题,那么p是q的充分条件
q是p的必要条件.
㈡若p则q是真命题，若q则p为假命题,那么p是 q 的充分不必要条件，q是p必要不充分条件.
(三）若p则q，若q则p都是真命题,那么p是q的 充要条件
（四）若p则q，若q则p都是假命题,那么p是q的 既不充分也不必要条件，q是p既不充分也不必
练：1.请用“充分不必要”、“必要不充分”、
“充要”、“既不充分也不必要”填空：
(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿必＿要＿不＿充＿分＿条件. (2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿充＿要＿ 条件. (3)“x=3”是“x2=9”的＿充＿分＿不＿必＿要＿条件.
(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行 四边形”的＿既＿不＿充＿分＿也＿不＿必＿要＿＿条件.
p : x A或x B;q : x A B 必要不充分条件 ⑹ p : x 0;q : x 2 必要不充分条件
⑺ p : m 2;q : 方程x2 x m 0无实根 充分不必要条件
2.充要条件的证明
例1、已知x、y是非零实数，且x y,求证：1 1 xy
的充要条件是xy 0.
(6) p :四边形的对角线平分且相等; q :四边形是平行四边形p. q (7) p : 三角形的三条边相等;q : 三角形的三个角相等. p q
[概念整理]
p是q的充分条件 q是p的必要条件
p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
q是p的充分条件
p是q的必要条件
q不 是 p的 充 分 条 件
p不 是 q的 必 要 条 件
注意：分清p与q. p : xy 0 q : 1 1
xy
证明：充分性 ( p q)
若xy
0, 则 xy
0 0
或xy
0 0
x y当x 0, y 0时，有：1 1 . xy
当x 0, y 0时，有：1 1 . xy
必要性(q p)
若 1 1 ,则有：y x 0,即xy( y x) 0.
要条件.
练习： 1. 若p : x2 y2, q : x y或x y,则q是p的什么条件. 2. 若x, y R, p : (x 3)2 ( y 4)2 0,
q : (x 3)(y 4) 0,则p是q的什么条件. 3.不等式2x＋5 7成立的一个必要不充分条件是（） A. x 1 B. x －6 C.x 1或x －6 D.x 0或x 0
(8) p :四边形的对角线平分且相等; q :四边形是平行四边形. （充分不必要条件）
(9) p : 三角形的三条边相等; q : 三角形的三个角相等. （充要条件）
练习1：以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、 “充要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的
一种填空.
1)" x 0, y 0"是" xy 0"的 （充分不必要条件）
2、判断p是q的什么条件？
⑴ p : x 3; q : x2 9 充分不必要条件 ⑵ p : x2 9; q : x 3 必要不充分条件
⑶ p : xy 0;q : x 0且y 0 必要不充分条件 ⑷ p : x A;q : x A B 必要不充分条件
⑸设集合 A x x 2 B x x 3
[复习引入]
写出下列两个命题的条件和结论，并判断真假.
(1)若x a2 b2 ,则x 2ab
(2)若ab 0,则a 0
[新授]
定义：一般地，"若p，则q"为真命题，是指由p通 过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作
p q. 并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
x 1 x2 1
2）"a N "是"a Z "的 （充分不必要条件）
3）" x2 1 0"是" x 1 0"的 （必要不充分条件）
4）"同旁内角互补"是"两直线平行"的 （充要条件）
5)" x 5"是" x 3"的
（必要不充分条件）
6)"a b"是"a c b c"的
（充要条件）
7）已知ABC不是直角三角形，" A<B "是
"tan A tan B"的 （既不充分也不必要条件）
引申 ②从集合角度看
命题“若p则q”
已知A＝{x | x满足条件p}，B＝{x | x满足条件q}
1)A B,则p是q充分不必要条件.
2)A B,则p是q的充要条件.
3)A B,则p是q充分不必要条件或者充要条件.
4)A B且B A，则p是q既不充分也不必要条件 .
x 1是x2 1的充分条件 x2 1是x 1的必要条件
两三角形全等 两三角形面积相等
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件． 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
[概念整理]
p是q的充分条件 q是p的必要条件
p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是 p的什么条件.
(3) p : a Q;q : a R. （充分不必要条件）
(4) p : x 2 0; q : (x 3)(x 2) 0.（充分不必要条件）
(5) p : xy 0;q : x 0.
（必要不充分条件）
(6) p : 两个角相等; q : 两个角是对顶角.（必要不充分条件）
(7) p : x是4的倍数; q : x是6的倍数. （既不充分也不必要条件）
p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p q,q p p是q的充分而不必要条件 ② p q,q p p是q的必要而不充分条件 ③ p q,q p p是q的既充分又必要条件，
简称充要条件
④ p q,q p p是q的既不充分也不必要条件
如：指出我们刚刚做的各题中p是q的什么条件？ (1)若x a2 b2 ,则x 2ab （充分不必要条件） (2)若ab 0,则a 0 （必要不充分条件）