二者为真者结果必真，
有一为伪者结果必伪。
可推广至多变量：各变量均为真者结果必真，有一为 伪者结果必伪。
设Y=A×B×C×D×…
则
Y=0×0×…×0=0
Y=1×0×…×0=0
→Y=0
Y=0×1×…×0=0
Y=1×1×1…×1=1→Y=1
当A和B为多位二进制数时，如： A=A1A2A3…An B=B1B2B3…Bn
一个数乘以2相当于该数左移一位； 除以2则相当于该数右移1位。
[例]：
00001011×0100=00101100B
00001011÷0100=00000010B…11B 即： 商=00000010B 余数=00000011B
无符号数的表示范围 一个n位的无符号二进制数X，其表示范围为
0 ≤ X ≤ 2n-1
若运算结果超出这个范围，则产生溢出。 （或者说运算结果超出n位，则产生溢出）
判别方法： 运算时，当最高位向更高位有进位（或 借位）
时则产生溢出。
[例]：
11111111 + 00000001 1 00000000
结果超出８位（最高位有进位），发生溢出。 （结果为256，超出８位二进制数所能表示的 范围255）
• 定义 符号位：0表示正，1表示负； 数值位：真值的绝对值。
数0的原码
• 8位数0的原码：+0 = 0 0000000 - 0 = 1 0000000
即：数00 ，则 [X]反=[X]原 • 若X<0， 则 [X]反= 对应原码的符号位
不变，数值部分按位求反
设：A=11010000 则：Y=00101111
1.3.4 布尔代数的基本运算规律
1. 恒等式 A·0=0 A·1=A A·A=A A+0=A A+1=1 A+A=A A+A=1 A·A=0 A=A
2. 运算规律 与普通代数一样，布尔代数也有交换律、结合律、分 配律，而且它们与普通代数的规律完全相同。 (1) 交换律： A·B=B·A A+B=B+A (2) 结合律： (AB)C=A(BC)=ABC
这个结论也可推广至多变量A，B，C，D，…… 各变量全伪者则结果必伪， 有一为真者则结果必真。
进行“逻辑或”运算时，各对应位分别进行“或”运 算 当A和B为多位二进制数时，如： A=A1A2A3…An B=B1B2B3…Bn Y=A+B
=(A1+B1)(A2+B2)(A3+B3)…(An+Bn) 例： A=10101
A·B=A+B=A+B
A+B+C=A·B·C
1.3.6 真值表及布尔代数式的关系
当人们遇到一个因果问题时，常常把各种因素 全部考虑进去，然后再研究结果。真值表也就 是这种方法的一种表格形式。这种从真值表写出
布尔代数式的方法可以用下面两段话来描述：
(1) 写布尔代数式先看真值表中结果为1的项，有几项 就有几个“或”项。
有0--9及A--F共16个数字符号。
表示：
例: (2A.7F) 16= 2×161+10×160 +7×16-1 +15×16-2
m =2 , H-2 =15 , H -1 =7 n =2 , H。＝10, H 1=2
优点：四位2进制数组成一位16进制，简 化书写，便于记忆。
二、 非十进制数到十进制数的转换
A
⊕Y
B
Y = A⊕B
A
B
Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1.3 布尔代数
布尔代数也称为开关代数或逻辑代数，可写成表达式：
Y=f(A,B,C,D) 有两个特点： (1) 其中的变量A，B，C，D等均只有两种可能的数值：
0或1。布尔代数变量的数值并无大小之意，只代表 事物的两个不同性质。
用于开关，则：0代表关(断路)或低电位； 1代表开(通路)或高电位。
(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C (3) 分配律： A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD 利用这些运算规律及恒等式，可以化简很多逻辑关系 式。
【例1.8】A+AB=A(1+B)=A A+AB=(A+A)(A+B)=A+B
【例1.9】如果原设计继电器线路如图1.3(a)，现 用逻辑关系，化简线路。
1. 与门（AND Gate）
A B
&
Y
Y = A∧B
A
B
Y
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
注：基本门电路仅完成1位二进制数的运算
2.或门（OR Gate）
A
≥1 Y
B
Y = A∨B
A
B
Y
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
3.非门（NOT Gate）
A
1
Y
Y=A
A
Y
0
1
1
0
4.异或门（eXclusive OR Gate）
例： 10110001001.110 = (?)H
0101 1000 1001.1100 5 8 9.C
注意：位数不够时要补0
四. 无符号二进制数的运算
无符号数 有符号数
算术运算 逻辑运算
无符号数的运算
• 算术运算 包括： 加法运算 减法运算 乘法运算 除法运算
规则
• 加法：1+1=0（有进位）, … • 减法：0-1=1（有借位）, … • 乘除法：…
十万 万 千 百 十 个
2. 二进制
特点：以2为底，逢2进位； 只有0和1两个符号。
表示：
优点：可用具有两个稳态的二值电路 机制计算，该电路组成计算机运算迅 速，电路简单，成本低.
二进制 十进制
1 10 1 1 1
25 24 23 22 21 20 32 16 8 4 2 1
3. 十六进制
特点：以16为底，逢16进位；
则进行“逻辑与”运算时，各对应位分别进行“与” 运算：
Y=A×B =(A1×B1)(A2×B2)(A3×B3)…(An×Bn)
【例1.6】 设A=11001010
B=00001111 则Y=A×B =(1×0)(1×0)(0×0)(0×0)(1×1)(0×1)(1×1)(0×1) =00001010 写成竖式则为
如何区分不同进位记数制的数字 在数字后面加一个字母进行区分：
– 二进制：数字后面加B, 如1001B – 八进制：数字后面加O, 如1001O – 十进制：一般不加, 如1001 – 十六进制：数字后面加H , 如1001H
• 在明显可以区分其记数制的情况下，可以 省略数字后面的字母
1. 十进制
§1.4 带符号二进制数的运算
• 计算机中的带符号二进制数
– 把二进制数的最高位定义为符号位
• 符号位为 0 表示正数，符号位为 1 表示负数
– 连同符号位一起数值化了的数，称为机器数。 – 机器数所表示的真实的数值，称为真值。
（在以下讲述中，均以８位二进制数为例）
[例]：
真值
机器数
+52 = +0110100 = 0 0110100
S1 K 1 Sm K m
n1

Si K i
im
其中：
Si -- S的第i位数码，可以是K个符号中任何一个； n,m – 整数和小数的位数； K -- 基数； Ki -- K进制数的权
常用进位计一数制、:常用记数制
• 二进制——便于物理实现 • 八进制 • 十进制——符合人们的习惯 • 十六进制——便于识别、书写
B=11011 则 Y=A+B
=(1+1)(0+1)(1+0)(0+1)(1+1)
=11111
写成竖式则为 10101
+)1 1 0 1 1 11111
注意，1“或”1等于1，是没有进位的。
1.3.2 “与”运算
根据A和B的取值(0或1)可以写出下列各种可 能的运算结果：
Y=0×0=0 Y=1×0=0 →Y=0 Y=0×1=0 Y=1×1=1 →Y=1
[例]：
• X= - 52 = -0110100 [X]原 = 10110100 [X]反 = 11001011
按相应进位计数制的权表达式 展开，再按十进制求和。
例： (101.11)2=
1×2２＋+0×2１+1×20 +1×2 - 1+1× 2 - ２
=(5.75) 10
(2A.7F) 16= 2×161+10×160 +7×16-1 +15×16-2
三. 十进制到非十进制数的转换
1、十进制 → 二进制的转换： 整数部分：除2取余； 小数部分：乘2取整。
11001010 ×) 0 0 0 0 1 1 1 1
00001010
1.3.3 “反”运算
如果一件事物的性质为A，则其经过“反”运算之后，其性质 必与A相反，用表达式表示为：Y=A
这实际上也是反相器的性质。所以在电路实现上，反相器是反 运算的基本元件。
反运算也称为“逻辑非”或“逻辑反”。
当A为多位数时，如： A=A1A2A3…An 则其“逻辑反”为：Y=A1A2A3…An