第六章二次型
§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵§2 化二次型为标准形
§3 二次型与对称矩阵的正定性
§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵
定义6.1.1：含有n 个变量x 1, x 2, … , x n 的二次齐次多项式
()
n x x x f ,,,21 n
n x x a x x a x x a x x a x a 1141143113211221
112222+++++= n
n x x a x x a x x a x a 224224322322
22222+++++ 2n
nn x
a +当系数属于数域F 时，称为数域F 上的一个n 元二次型。本章讨论实数域上的n 元二次型，简称二次型。
n
n x x a x x a x a 33433423
3322++++
22212111222
121213131,12111
12121122121222
2221122,1
222(,,,)n nn n
n n n n
n n n n
n n n n nn n
n
ij
i j
i j f x x x a x a x a x
a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x
a
x x --==++
+++++=++++++++
++++=
∑i j j i ij i j i j i j j i i j
22212111222
121213131,12111
12121122121222
2221122,1
222(,,,)n nn n
n n n n
n n n n
n n n n nn n
n
ij
i j
i j f x x x a x a x a x
a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x
a
x x --==++
+++++=++++++++
++++=
∑i j j i ij i j i j i j j i i j
2121111212112
2121222222
1122(,,
,)n n n n n n n n n nn n
f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x =+++++++
++++111112
21()n n x a x a x a x
+++2211222
2
()n n
x a x a x a x ++++1122()n n n nn n x a x a x
a x +++1111221211222
2121122(,,
,)n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x ++
+⎛⎫
⎪
+++
⎪
= ⎪
⎪
+++⎝⎭111211212222121
2
(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
T
x Ax
=
其中A = (a ij )n ×n , x = (x 1, x 2, ···, x n )T
A 为对称矩阵，称A 为二次型对应的矩阵，A 的秩为二次型的秩。
二次型和它的矩阵是互相唯一确定的。即有一个二次型就有唯一的对称矩阵A ；而对称矩阵A 对应唯一的二次型。
,
)(T
1
1
21Ax x x
x a ,x ,,x x f j
i n
j ij n
i n ==∑∑
==
例如，二次型的矩阵是
()3
222
31212132,,,x x x x x x x x x x f n -++= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=02
32
12322121210A A 是一个对称矩阵。
反之，对称矩阵A 所对应的二次型为
()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--==32132132102
32
12322121210,,,,x x x x x x Ax x x x x f T
3
222
312132x x x x x x x -++=
解析几何中，为了确定二次方程
ax 2+ bxy + cy 2=d （a ，b ，c 不全为零）
所表示的曲线的性态，通常利用旋转变换公式：
选择适当的θ，可使上面的方程化为
⎩⎨
⎧'+'='-'=θ
θθθcos sin sin cos y x y y x x 在旋转变换公式中，θ选定后sin θ，cos θ是常数。x ，y 由x‘，y’ 的线性表达式给出。
这一线性表达式称为线性变换。
ax '2 + by'2 = d ′