第六章二次型§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵§2 化二次型为标准形§3 二次型与对称矩阵的正定性§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵定义6.1.1：含有n 个变量x 1, x 2, … , x n 的二次齐次多项式()n x x x f ,,,21 nn x x a x x a x x a x x a x a 1141143113211221112222+++++= nn x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2nnn xa +当系数属于数域F 时，称为数域F 上的一个n 元二次型。

本章讨论实数域上的n 元二次型，简称二次型。

nn x x a x x a x a 334334233322++++22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,,,)n nn nn n n nn n n nn n n n nn nniji ji j f x x x a x a x a xa x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a xax x --==+++++++=++++++++++++=∑i j j i ij i j i j i j j i i j22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,,,)n nn nn n n nn n n nn n n n nn nniji ji j f x x x a x a x a xa x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a xax x --==+++++++=++++++++++++=∑i j j i ij i j i j i j j i i j212111121211221212222221122(,,,)n n n n n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x =+++++++++++11111221()n n x a x a x a x+++22112222()n nx a x a x a x ++++1122()n n n nn n x a x a xa x +++11112212112222121122(,,,)n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x +++⎛⎫⎪+++⎪= ⎪⎪+++⎝⎭1112112122221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Tx Ax=其中A = (a ij )n ×n , x = (x 1, x 2, ···, x n )TA 为对称矩阵，称A 为二次型对应的矩阵，A 的秩为二次型的秩。

二次型和它的矩阵是互相唯一确定的。

即有一个二次型就有唯一的对称矩阵A ；而对称矩阵A 对应唯一的二次型。

,)(T1121Ax x xx a ,x ,,x x f ji nj ij ni n ==∑∑==例如，二次型的矩阵是()322231212132,,,x x x x x x x x x x f n -++= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=023212322121210A A 是一个对称矩阵。

反之，对称矩阵A 所对应的二次型为()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==321321321023212322121210,,,,x x x x x x Ax x x x x f T3222312132x x x x x x x -++=解析几何中，为了确定二次方程ax 2+ bxy + cy 2=d （a ，b ，c 不全为零）所表示的曲线的性态，通常利用旋转变换公式：选择适当的θ，可使上面的方程化为⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x 在旋转变换公式中，θ选定后sin θ，cos θ是常数。

x ，y 由x‘，y’ 的线性表达式给出。

这一线性表达式称为线性变换。

ax '2 + by'2 = d ′定义2关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,称为由变量n x x x ,,,21 到变量n y y y ,,,21 变量替换，简称线性变换。

的一个线性矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c C 212222111211称为线性变换的矩阵，0≠C 时称线性变换为非退化的线性变换或可逆的线性变换。

如上例中，因为01cos sin sin cos ≠=-θθθθ，所以⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x 是一个非退化的线性变换。

设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y y x x x x 2121,是两个n 元变量，则线性变换可以写成以下矩阵形式：Cyx =代入Ax x f T=有()()Byy ACy C y Cy A Cy Ax x f TTTTT====其中()B AC C AC C B AC C B TTTTT ====,,因此By y T是以B为矩阵的y 的n 元二次型。

如果线性变换是非退化线性变换，By y T有下面的形状：2222211rr yd y d y d ++我们称这个形状的二次型为二次型的一个标准形。

易知，()()B R A R r ==例1 将二次型()2332223121213214222,,xx x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形。

解：由于标准形是平方项的代数和，可通过配方法将二次型改写成2332223121214222x x x x x x x x x f +++++=()()()23322223223232121422xx x x x x x x x x x x ++++-++++=()322223212x x x x x x ++++=()()232322321xx x x x x -++++=①令⎪⎩⎪⎨⎧+++===333221321x x x x x x y y y 即⎪⎩⎪⎨⎧--===33221321y y y y y x x x 01100110011≠=--=C 代入式①中，得原二次型的标准形232221yy y f -+=其矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010001B 因为原二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121221111A 线性变换的矩阵为01C 100110011≠=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=且C 通过计算可以验证⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==100010001B AC C T是对角矩阵，且232221yy y By y f T-+==可见，要把二次型化为标准形，关键在于求出一个非奇异矩阵C，使得C T AC是对角矩阵。

上例是通过配方方法间接找到非奇异矩阵C。

一般说来，这种方法较麻烦，下面我们将介绍初等变换和正交变换的方法求矩阵C。

定义3设A,B为两个n阶矩阵，如果存在n阶非奇异矩阵C，使得T=C AC B则称矩阵A合同于矩阵B，或A与B合同，记为≅A B例如111100122010121001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭合同关系具有以下性质：①AATE AE A因为②A B BA⇒()11TTC AC B CBC A--=⇒=因为③,AB BC A C⇒()()11221212,TT T C AC B C BC C C C A C C C==⇒=因为。