σ2 ( r ) t σ t Z 2
6
S (t ) S0e
对数正态分布
• 在概率论与统计学中，对数正态分布是对数 为正态分布的任意随机变量的概率分布。如 果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X) 为对 数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 log(Y) 为正态分布。 如果一个变量可以看作 是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可 以看作是对数正态分布。一个典型的例子是 股票投资的长期连续收益率，它可以看作是 每天连续收益率的乘积。 对于 x > 0，对数 正态分布的概率分布函数为
• Wiener过程(长时间段内)的增量 N z T z 0 i t
N T t
i 1
– 增量的均值等于0 – 增量的标准差等于
T
13
股票价格的随机过程GBM
• 令S(t)表示股票在t时刻的价格，随机微分模型
dS(t ) S (t )dt S (t )dZ(t )
标的资产支付连续红利的 欧式期权定价
• 下述两种股票在T时刻的价格分布相同
–当前股价为 S0 ，支付连续红利，红利率为q qT S e –当前股价为 0 ，不支付红利
• 定价原则：在标的股票支付连续红利的欧式 期权定价时，可以把它当作标的股票不支付 S0e qT 红利的欧式期权，只要用 替代 当前股价
U (

2
2
Hale Waihona Puke ) t16S 2 2 t
无套利市场中的 股票价格过程
• 在无套利市场中，根据风险中性定价原理，应该成立
ES (t ) S 0 e rt 又根据S (t )满足对数正态分布，得 到 ES (t ) S 0 e t 可见，在无套利市场中 ，＝r
• 所以在期权定价中，股票价格的对数过程为如下的 Brown运动
e EQ (I A (S (t ))) S0(d1 )
-rt
S0 2 d1 d2 t (ln (r )t ) X 2 t 1
22
定理：Black-Scholes 期权定价公式
c S0 N (d1 ) Xe rT N (d2 )
p Xe rT N (d2 ) S0 N (d1 )
32
离散红利
• D表示期权期限内红利在0时刻的现值 • 定理：在上述条件下，B-S公式扩展为： • 其中，
c (S0 D) N (d1 ) XerT N (d2 )
2 S0 D ln (r )T X 2 d1 T
d2 d1 T
33
• Samuelson P.A 1965; Bachelier1990 • 股票价格的对数过程为Brown运动
s(t2 ) 2 ln( ) ( )(t2 t1 ) t2 t1 Z s(t1 ) 2 Z ~ N (0,1)
• 股票价格的几何布朗运动模型（GBM）
14
例
• 考虑一种标的资产，初始价格为$40，预期收 益率为每年16％，波动率为每年20％。则经 过六个月后，资产的价格S(t)服从如下概率分 布：
20
2
• 命题2：
EQ I A (d2 )
EQ I A P ( S (t ) X ) P( Z d 2 ) 1 P( Z d 2 ) 1 (d 2 ) 1 (1 ( d 2 )) (d 2 )
21
• 命题3：
其中，
2
27
隐含波动率法
• 隐含波动率，指的是能使BS模型价格等于期权当前市 场价格的标准差的数值 • 根据特定的精确度，不断试 错的过程 • 股票的所有具备相同到期日 的期权合约，都应当拥有相 同的波动率。 • 问题：同一股票的不同合约 可能产生不同的隐含波动率
美国在线公司的波动率
X 120 125 130 5月 0.76 0.75 0.76 6月 0.79 0.83 0.83 7月 0.85 0.86 0.85
11
Wiener过程(布朗运动)—定义
Wiener过程，Brown 运动： 独立增量，在任意两个微小时间段内的 改变量是独立的 每个区间上的增量满足正态分布 Wiener过程是Markov过程
• 瞬时增量为
z t
– 增量的均值等于 0 – 增量的标准差等于
t
12
Wiener过程(布朗运动)—— 基本性质
3
教学内容
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 风险中性定价 标的资产的变化过程 B-S期权定价公式 波动率的计算 二值期权 标的资产支付红利情况下的期权定价 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
4
1. 风险中性定价
• 风险中性市场，欧式看涨期权
C max(S (T ) X ,0) V (T , w)
34
欧式股票期权——连续红利
c S0eqT N (d1 ) Xe rT N (d2 )
p Xe
rT
N (d2 ) S0e
qT
30
5. 欧式二值期权定价公式
• 二值看涨期权价值
• 二值看跌期权价值
e
r (T t )
(d2 )
e
r (T t )
[1 (d2 )]
31
6. B-S期权定价公式扩展
• 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定： 股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期 的时间、无风险利率以及标的股票的波动率 • 如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由 于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用 B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个 问题的办法是： 用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分 配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而 得到欧式期权的价值
《金融工程学》课程 第六讲
Black-Scholes-Merton 期权定价模型
1
欧式期权定价——轶事
• 期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的前面 70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定 价的问题，但都未能获得令人满意的结果。在探索期权定 价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在1973年— —金融学家F. Black与M. Scholes发表了“期权定价与公 司负债”的著名论文 • 该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式—— Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计 公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采用的动态复 制方法成为期权定价研究的经典方法 • M. Scholes主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺了1997 年的诺贝尔经济学奖
18
• 命题1：设
S0 2 d2 (ln (r )t ) X 2 t 1, Z ( w) d 2 I A ( w) 0, 其它 1
19
• 事实上，S(t)>X
S0 e
(r
2
2
) t
t
x
X (r )t t Z ln 2 S0 X 2 Z (ln (r )t ) S0 2 t 1 注意,IA ( w)中的w是使期权执行的事件. C=e-rt EQ [ I A ( S (t ) X )] e-rt ( EQ ( I A S (t )) XEQ I A )
25
4.关于波动率的计算
• 历史数据法，隐含波动率法 • 历史数据法： ——前提：在最近的历史期间起主要作用的 价格波动率，也同样适用于未来的期间。 ——计算一个期间的连续收益率的标准差 ——再转化为以年为单位的连续收益率的标 准差
26
历史数据法计算程序
S3 Sn S2 ln , ln , , ln S1 S2 S n 1 r1 , r2 , , rn , 1 n r rk n k 1 1 n 2 T (rk r ) n k 1 1 T T
s(t2 ) 2 ln( ) (r )(t2 t1 ) t2 t1 Z s(t1 ) 2 Z ~ N (0,1)
• 该假设与风险中性原理的吻合
17
3. B-S公式的推导
• 1．引入示性函数：
1, w A {w | S (t , w) X } I A ( w) 0, w A max( S (t , w) x, 0) ( S (t , w) x) I A ( w)( S (t , w) x)
S (t ) S0e
• 利用风险中性定价方法
( r
2
2
)t tZ
C EQV (T , w)e rT e rT EQ max( S (T ) X , 0)
24
例
• • • • • • • Intel 股价在1998年5月22日时的有关数据如下: S=74.625 X=100 T-t=1.646(到期日2000年1月) r=0.05 波动率＝0.375 D1=-0.207，d2=-0.688，N(d1)=0.4164， N(d2)=0.2451 • C=$8.37，实际交易通过竞价市场，市价为$8.25
7
8
9
10
马尔科夫过程(Markov process)
• 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与 过去无关 • 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价 在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过 去的路径
– 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中， 简单的技术分析不能战胜市场 – 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱 有效性
2 S0 ln r T X 2 d1 T 2 S0 ln r T X 2 d2 d1 T T




23
对公式的诠释
• 其中，N(x)表示的标准正态分布N(0,1)的概率值 • 假设股票的连续收益率满足布朗运动， • Brown 运动：独立平稳增量随机过程，每个区间上的 增量满足正态分布， • 即股票价格满足几何布朗运动，Z－N(0,1)