第２４卷第２期　２０１１年６月　海南师范大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｉｎａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖ０Ｉ＿２４　Ｎｏ．２　

Ｊｕｎ．２０１　１　

２ｎ阶非线性差分方程周期解的存在性与多重性　彭国荣　（湖北民族学院预科教育学院，湖北恩施４４５ＯＯＯ）　

摘要：主要利用非线性泛函分析中的变分方法，结合临界点理论，研究２阶非线性差分方程　一　一　）十厂（　，　）：０（１．１．１）周期解的存在・Ｉ￣－Ｅ，多重性．　

关键词：周期解；临界点；非线性差分方程；变分方法　中图分类号：０　１７７　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７４—４９４２（２０ｌ１）０２—０１３１—０３　

Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ａ　２ｎ　ＴＨ－ｏｒｄｅｒ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　

ＰＥＮＧ　Ｇｕｏｒｏｎｇ　（Ｐｒｅ－ｌｎｓｔｉｔｕｔｅＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＨｕｂｅｉＩｎｓｔｉｔｕｔｅｆｏｒＮａｔｍｎａｌｉｔ￣ｓ，Ｅｎｓｈｉ　４４５０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍ　△　ｒｔ一　Ａ＂ｘｆ＿　１＋厂　，　Ｉ）＝０（１．１．１）ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｂｙ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｖａｒｉａｔｉ。ｈａｌ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｙ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　

ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｇｒｏｕｐ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｍｏｒｓｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｙ；Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｖａｒａｔｉｏｎａｌ　ｍｅ￣ｏｄ　

１分析　本文主要利用非线性泛函分析中的变分方法，　结合临界点理论，研究２ｎ阶非线性差分方程　△”（　一　△　ｚ　一　）十厂（　，　）＝ｏ，ｎＥＺ（３），ｔＥＺ（１）　

当ｎ＝２ｋ时，在　中至少有四个不同解的情况．　其中ｚ（口）＝Ｉ口，口＋ｌ，…Ｊ，当口≤６时，Ｚ（ａ，６）＝｛口，ｏ＋　ｌ，…，ｂｌ，Ａ是向前差分算子，即　－ＸＨ１一　，　＋１　＝△（　）．实数序列ｎ和非线性项厂分别满　

足以下条件：　（Ａ）对给定的正整数　，　＋丁＝　＞０，ｔＥＺ；　（Ｂ）ｆＥ　Ｃ（ＺｘＲ！　Ｒ　），并且对任意（ｔ，　）∈　Ｚ￣Ｒ１，　（件Ｔ，　）＝厂（　，　）．　

记Ｖ１　ｆ鼎）ｒｆ＇Ｖ２：　ｍ（１ＩａｘＴ）ｒｔ・显然　ｖ２＞０・　

对于ｚＥＥＴ，定义　（　）　＝ｚ　一△　（　一　△”ｚ　一　）－Ｉ（ｔ，　），　＝１，２，…　

（　）＝【（＆）　，（Ｂｘ）２，…，（＆）ｒ），　

收稿日期：２０１１－０１—２８　

那么算子Ｂ：ＥＴ一　．注意到　，　（ｚ）＝（△　（ｎ一　△　ｚ１一　）十厂（１，ｚ　），…，　

△”（，７一　Ａ　ｚ丁一　）＋厂（丁，　丁）），　因此，　（ｚ）＝ｘ－Ｂｘ，从而Ｊ的临界点等价于Ｂ的　不动点．　在　中定义锥　ＪＦ）＝｛ｘＥＲ了、Ｉ　＝（ｚ１，ｚ２，…，ｚ丁），ｚｆ≥ｏ，　

＝１，２，…，丁｝，　则Ｐ是正规体锥．我们用锥Ｐ规定　中的半序关　系≤，＜，《等．于是，我们有下面的结论．　定理１假设下列条件满足：　（１）　，　∈Ｅ丁是问题（１）的一对上下解，并且　Ｕ《　：　（２）Ｂ：　一Ｅ丁是增算子；　（３）存在Ｒ２＞ｏ，　＞２，对任意　≥Ｒ２有　

（～１）　（　，　）≤（一１）　ｆｌＳｏｆ（ｔ，ｓ）出＜０．　则问题（１）在Ｅ丁中至少有四个不同的解．　１３２　海南师范大学学报（自然科学版）　２基本定义与引理　定义１‘　Ｉ设　是一个实Ｂａｎａｃｈ空间，　：Ｅ－÷　Ｒ　是Ｃ　泛函．如果｛‰｝ＣＥ，Ｊ（ｕ　）有界，　（‰）一　蕴涵｛Ｕ　｝有收敛子列，则称泛函－，满足Ｐａ１．　ａｉｓ—Ｓｍａｌｅ条件，简称Ｐ．Ｓ．条件．　定义２ｌ　设Ｅ是一个实Ｂａｎａｃｈ空间，Ｐ为Ｅ中　的锥，Ｅ中半序关系定义为　≤　甘　～Ｕ∈Ｐ；　

Ｕ＜　甘　≤　且Ｕ≠　；　《　铮７３－－Ｕ∈Ｐ．并称定　义了半序关系的实Ｂａｎａｃｈ空间为一个有序的Ｂａｎ．　ａｃｈ空间．　定义３　设Ｅ是一个实的有序的Ｂａｎａｃｈ空　间，算子Ａ：Ｅ—Ｅ．如果对　，　∈Ｅ，ｕ＜ｖ蕴涵　Ａｕ＜Ａｖ，则称Ａ为增算子；如果对Ｖ　，　∈Ｅ，ｕ＜ｖ　蕴涵Ａｕ＜Ａｖ，则称Ａ为严格增算子；如果对　

，ｚ，∈Ｅ，ｕ＜ｖ蕴涵Ａｕ《Ａ　，则算子Ａ称为强增　算子．　引理１　设Ｈ是一个Ｈｉｌｂｅｒｔ空间，　：Ｅ—Ｒ　是ｃ　泛函，满足Ｐ．Ｓ．条件，　（　）可以表示为　（　）＝　ｚ‘一Ａｕ的形式．设Ｄ，和Ｄ　是日中的开凸集，满足　Ｄ１ＮＤ２≠　，Ａ（ＯＤ１）ＣＤ１，Ａ（ａＤ２）ＣＤ２．　如果存在一条道路＾：［０，１卜＋Ｈ，使得ｈ（０）∈　Ｄ１＼Ｄ２，ｈ（１）ｆｆＤ２＼Ｄｌ，并且　ｉｎ　ｆｎＤ２　）＞　Ｓ（ｈ（　）），　

则．，至少有四个临界点，分别在中　Ｄ１　ＮＤ２，Ｄ１＼Ｄ２，Ｄ２＼Ｄ１，小《Ｄ１　Ｕ　Ｄ２）．　

３主要结论及其证明　为了证明主要结论需要如下引理　引理２假设存在ａ＞０，ｃ＞Ｏ，使得对任意　（ｔ，　）ＥＺｘＲ有Ｆ（　，　）≤一ｎＩｚｒ＋ｃ，则下列结论成　立：　（１）．，在ＥＴ上有下界；　（２）．，满足Ｐ．Ｓ．条件；　（３）　是强制的．　证明　（１）对任意　＝（　１，ｚ２，…，ＸＴ）　∈研，　．，（ｚ）≥∑Ｔ？＇ｔ－ｌ（ＡｎＸｔ－１　２妻（一　ＸｔＩ。＋ｆ）≥　

ｎ∑Ｉｚ　ｌ２－ｃＹ－－－口ｌｌｚ　一ｆＴ≥一ｃＴ　从而．，在Ｅ丁上有下界．　

２０１１年　（２）设｛ｚ　｝ｃＥｎｋｅＺ（１），Ｊ（ｘ　）有界．即存　在Ｍｌ＞ｏ，满足ｌ　（ｚ㈣）Ｉ≤Ｍｌ，由（１）的证明知　Ｍｌ≥　（　≥ｎ　’　汀，　从而不难找到Ｍ２＞０，使得对任意的　∈Ｎ，　Ｉ　Ｈ２≤Ｍ２．即｛　’｝是有限维空间Ｅ　．中的有界　

序列，所以它有收敛子列，因此．，满足Ｐ．Ｓ．条件．　（３）由　ｌｉ—ｍ

佃　

（ｚ）：＋∞，所以．，是强制的・　

引理３　（△　ｚ卜。　≤４　ｉ　．　证明用数学归纳法证明．　当ｋ＝ｌ时，　

∑（　川）　＝∑（　一　）　≤　

２（ｚ　＋ｚ　）＝∑１　＝４　ｌ　，　所以ｋ＝ｌ时结论成立．　假设．ｊ｝：凡一１成立，即妻（　丑一　）　≤４　一　ＩＩｚＩＩ　．　

则当ｋ＝ｎ时，　∑Ｔ（△　卜　）２：∑Ｔ（△　一ｌ　一△ｎ－１．７￣ｔ－１）　≤　

）２＋（△　一－ｚ卜　）１≤　∑４（△．￣　２［　（Ａ

）＇　－

：ｉｘ

４ｔ

Ｔ　×４　ＩＩ　ｌｌ　＝４　Ｉ　，　

所以当ｋ＝ｎ时也成立．　引理４若存在Ｒ２＞Ｏ，　＞２使得当　≥Ｒ２，　

（一１）　（　，ｚ）≤（一１）　ｆｌＳｏ　ｆ（ｔ，５）出＜ｏ，则存在常数　口２＞ｏ使得对任意ｚＣＲ　，Ｆ（ｔ，ｚ）≥口ｌＩ２　一口２．　证明当ｎ＝２ｋ＋ｌ时，由不等式　（￡，２）＞ｆｌＳ：ｆ（ｔ，ｓ）ｄｓ＜０　

有　≤盟　ＳｏＳ（￣，ｓ）出’　’　

星≥　：兰！。　≤　，．　

，　）出’　‘　

分别对上述两不等式在　，　，ｋ，一Ｒ２１上积分得　第２期　彭国荣：２ｎ阶非线性差分方程周期解的存在性与多重性　１３３　－Ｒ　ｚ＜ｌｎＩ：　２ｆ（　ｔ’，　ｓ　）ｄｓｔ）ａｓ。，　≥．Ｒｚ；　

ｈ而Ｊｏ＆ｆ（ｔ，ｓ）ｄｓ　；　

即　出≥　）出（　ｚ；　

≥　（　从而得到，对任意　≥Ｒｚ有　ｆｏＩ（￣，５）凼≥口１Ｉ　Ｉ　，　其中，　ａ１＝　Ｒ　ｍｉｎ｛　，一）ａｓ　出｝＞ｏ．　

又因为　厂（　，　）出在Ｚｘ［－Ｒ　，Ｒ２】上有界，因此存　在口３＞ｏ使得　厂（ｆ，　）凼≥－－ａ３，对任意（ｆ，ｚ）ＧＺ×　【－Ｒ２，Ｒ２】成立．从而对任意（￡，ｚ）ＧＺ￣Ｒ　有　厂（　，　≥口１Ｉ　ｒ一口２，其中口２＝口１Ｒ￣ｚ＋ａ３＞ｏ．　

ｎ＝２ｋＩ￣，由不等式ｚｆ（ｔ，　）＜ｆｌｆ：ｆ（ｔ，　）　＜０　得　ｚ［－ｆ（ｔ，　）】≥　一　（　＞ｏ，　由前面的证明知存在常数ａ　，ａ２＞０使得　（　≥口。　一　又因为Ｆ（ｔ，　）＝（一１）　厂（　，　）ａｓ，所以当ｎ＝２ｋ＋　ＩＮ，Ｆ（ｔ，　）＝　（￡，　）出≥口　ｌ　一口　．当ｎ＝２ｋ￣＇－ｔ，　Ｆ　，　）＝一　，ｓ）ｄ　≥口　Ｉ　一口　．　因此，存在常数ａ１，ａ２＞０使得对任意ｚＧＲ　，　Ｆ（ｔ，　）≥口１Ｉｚ（一口２．　定理２的证明由（１）知Ｕ《　，Ｕ《Ｂ　，Ｂｙ　

．在ＥＴ中定义集合　Ｄ１＝｛ＸＥＥＴ：ｚ《　｝，Ｄ２＝｛ＸＥＥＴｔ．Ｔｇ：￣Ｔ３）．　因为　《　，所以ｕＧＤ１，从而Ｄ１≠　；同理　《　，ｒＥＤ２，Ｄ２≠　．因为Ｄ１ＤＤ２＝｛ｘＧＥ　，　《　《　｝，所以Ｄ１　ｆｌＤ２≠　，因此Ｄ１，Ｄ２是ＥＴ中的　

是增算子，由（１）知Ｂｗ＜Ｂｙ《　．从而Ｂ将Ｄ１　的边界映人Ｄ１，同理可证Ｂ将Ｄ２的边界映人　Ｄ２．由引理２及条件（３）知．，满足Ｐ．Ｓ．条件．因为Ｐ　是正规锥，所以一Ｄ１ｎ—Ｄ　＝［Ｕ，　有界，即存在Ｍ１＞　０，当ｘＧ［Ｕ，　，ＩＩｘｌＩ≤Ｍ１．又因为ｆ（ｔ，ｚ）连续，则　存在Ｍ２＞ｏ，当ｘＧ［Ｕ，　，ｔＧ【１，　时Ｉｆ（ｔ，　）ｌ≤　Ｍ２．所以．，在　１　ｎ　２上有下界．　取ｚ，ｙＥＥ丁　《　，　》０，使得ｚ《　《　《　，　且ｚ，Ｙ线性无关．令＾　’（ｒ）＝Ｒ（　＋（１一ｒ）　），Ｒ≥　０，ｒＥ　Ｄ，１】．则道路＾‘Ｒ’：【ｏ，１】一Ｅ丁．易知＾‘Ｒ’（ｏ）＝　Ｒｘ．￣ｖ，＾‘Ｒ　（１）＝　《　《　，只要Ｒ充分大，所　以　（Ｒ’（Ｏ）∈Ｄ１ｋＤ２，ｈ（Ｒ）（１）ＧＤ２ｋＤ１．令　（ｒ）＝　ｌｌ＾‘Ｒ　（ｒ）ｌｌ，ｒＥ［０，１】．因为ｚ，　线性无关，所以垃＋　（１－ｔ）ｙｃｅ，即　（ｒ）＞０，易知　（ｒ）在［０，１］ｌｕ连续，　所以　】　（ｆ）＝ｃｚＲ＞Ｏ，又因为　

￣，（ｒ）＜Ｒ（Ｉｌｘｌｌ＋ｌｌｙｌ１）＜ｃａＲ，　从而０＜ｃｚ尺≤　（ｒ）≤ｆ３Ｒ．另一方面，由引理４知　存在ａ１＞０，ａ２＞０，使得Ｆ（ｔ，　）≥口１Ｉｚｌ　一ａ２，结合　引理３，则　‘Ｒ）（ｒ））≤等　’（ｒ）１１　奎　ｆ）ｒ　丁≤ｔ＝ｌ　＾（Ｒ　（ｒ）ｌｌｚ－ａｌ（Ｃ　ｈ（Ｒ’（ｒ）ＩＩ　＋口。Ｔ≤　

ＴＶｚ４＂ｆ；Ｒ　一口１　ｃ　＋　２，　

从向　

Ｒ　：一∞，　因此　

∈ｉ。ｔａ

。

ｆ

ｎ＿２　（ｚ）＞　

∈ｓｕ

【０ｐ，１】

，（＾　Ｒ　（ｒ））・　

所以由引理Ｉ知问题（Ｉ）在ＥＴ上至少有四个　不同的懈【３．５】．　

参考文献：　【Ｉ】郭大钧，孙经先，刘兆理．非线性常微分方程的泛函方法　【Ｍ】．济南：山东科学技术出版社，１９９５．　【２】孙经先．非线性泛函分析及其应用［Ｍ】．科学出版社，　２ｏ０８．　［３】郭志明，庾建设．二阶超线性差分方程周期解与次调和解　的存在性［Ｊ】．中国科学，２００３，３３（３）：２２６—２３５．