“类比”的方法
今天我们来讲类比的方法，我们数学是特别讲究
逻辑推理的，而今天我们这堂课，是将合理推理。合
理推理，是不同于逻辑推理的，像类比呀，归纳呀，
联想呀，猜测呀，这些我们把它叫做合理推理，不同
于逻辑推理，或者叫演绎推理，那么什么叫类比呢？
类比，是两个事物在一些方面的相同或类似，去推理
它们另外方面的相同或者类似，但这种合理推理的结
论，可能是正确的，也可能是错误的，这要靠逻辑推
理去证明或者论否。合情推理是本身并不是证明，因
为它无法保证一直相同的属性，与推出的属性之间有
必然的联系，要证明必须是必然的联系，而合理推理
只是合情的联系。但是，它却是获得新思路新发现的
一种观点、一种手段、一种方法，所以它对于创新思
维是很重要的类比。赵本山有句台词，叫脑袋大脖子
粗，不是大款就是伙夫，其实就是用的类比。这两类
人在这些方面相同或类似，去推知他们在其他方面也
相同或类似，这些方面是什么方面呢？脑袋大，脖子
粗，然后就推知他们在另外那些地方也可能相同，那
些地方时什么？不是大款，就是伙夫。这就是合理推
理，这个结论可能是正确的，也可能是错误的，那么
下面我们用一个数学问题来讲类比，这个数学问题是
一个立体几何问题，一个固定的是四面体内任一点到
这4个面的距离之和，是否为一个定值？四面体内有
好多点，任何一个点到四个面的距离之和是否为定
值？随便取一个点。这个题是有难度的，但是如果用
类比，就可以迎刃而解。
类比到正三角形，正三角形当中，任一点到三边
的距离之和是一个定值。怎么去证明呢？我们通过三
角形的面积去完成证明。三角形内一点P，分别和三
个顶点A、B、C相连，把这个三角形分成了三个小三
角形。这个三角形的面积是底乘高除去二，那么这三
个小三角形的面积怎么去求呢，应该是大三角形和三
条边分别作底边，P到三条边的距离分别作高。因为
大三角形是正三角形，所以这个三角形的面积之和就
应该是正三角形的边长乘以P到三边距离之和，再除
以2,。很显然，是个定值。
拿着刚才这个思维去类比，上一个题就不难啦。
结论就是它确定是定值，证明的方法是类似的。下面，
我们从这个类似的题，再回到生活中去，看看这个载
体，四个平面最多能把空间分为多少个部分？
大家都知道，一个平面最多把空间分成八个部分，
那么类比下去，四个平面，应该最多把空间分成16
个部分。但是，类比得到的结论可能正确，可能错误，
现在告诉各位，这个16部分的答案是错误的。那么怎
样去得到正确的答案呢？我们仍然用类比，但是我们
要比刚才精细一点。我们想到4个平面分空间，最多
可以分成多少个部分，那么要分得部分最多，这个平
面就要相交情况最复杂，如果4个平面都平行，它把
空间只分成可5个部分，那么，怎么样描述平面相交
情况最复杂？从而把空间分的部分数最多呢？数学就
是有这种本事。他能用非常简明准确严格的语言表达
出来。两句话，大家听一听，而且我现在说n个平面，
第一句话是：n个平面中每个平面与其余的n-1个平
面都相交。这就是要跟一个平面不想交、平行就是最
复杂的。第二句话是：这个n个平面中，每个平面都
不过其余任何3个平面的交点。怎么理解呢？三个平
面最少相交于一点，那么第4个平面如果再过这个点，
那么分出来的部分数就不多或者不是最多；第4个面
如果稍微偏离这个点，分的部分数就会多，相交情况
就会复杂，所以第二句话是，n个平面中每个平面都
不过其余任意3个平面的交点。
好，拿了这两句话去看4个平面分空间，我们会
发现相交最复杂的情况，就是4个平面交成一个四面
体的情况，不见得是正四面体，只要是四面体就行了，
它就符合我们刚才那两句话，那么这个时候，我们也
可以说，四面体的4个面都无限延展以后所成的4个
平面，就是相交情况最复杂，它把空间分成了多少部
分呢？
现在我们再借助类比的手段，我们就会比较有自
信，我们类比什么呢？我们去类比3条直线分平面，1
条直线最多把平面分成两个部分，2条直线最多把平
面分成4个部分，但3条直线并不是最多把平面分成
了8个部分，这可是在纸上可以画出来的，3条直线
最复杂的情况，就是三条直线交成一个三角形的情况，
它分成多少部分是可以数出来的最多就是7个部分，
但是我们要能够从中发现带有规律性的东西，这7个
部分大致可以分成这样3组，有一个有限的部分在三
角形的内部，还有若干个无限的部分在三角形的外部。
在三角形外部的又可以分成两组，和这个三角形有公
共顶点的是一组，和三角形有公共边的又是一组，这
些都是无限的部分。找到这些规律以后，拿着这样的
思路和语言区类比4个平面分空间。
我们已经看到了4个平面相交最复杂的情况，就
是交成一个四面体的情况，或者说，四面体的4个面
无限延展所称的4个平面，就是最复杂的情况，它把
空间分成了多少个部分呢？现在我们用刚才的思路和
语言类比来叙述，有一个有限的部分在四面体的内部，
有若干个无限的部分在四面体的外部，在外呈漏斗状，
一共有4个；然后还有跟四面体有公共棱的部分，四
面体有公共面的部分，四面体有四个面，所以又有4
个部分，类比这里的思路和语言，我们看到，一共是
15个部分。
但是，做到这里且慢高兴，为什么？因为我们用
的类比，类比是合情推理，合情推理的结论可能正确，
也可能错误，所以，我们还需要用逻辑推理去证明或
者论否。类比并不是证明，只是一种合理的猜测。
好的，下面我们就一块来试试看，能不能够用类
比的思路去找到逻辑推理的方法和语言。我们还回到
平面上3条直线分平面，这3条直线分平面得到7个
部分，从逻辑上来讲，这7个部分是怎么来的呢？我
们注意下面这些叙述。2条直线分平面式4个部分，
为什么3条直线分平面就不是8个部分呢？因为新增
加的这条直线，要想分的部分数最多，就要相交情况
最复杂，所以这条直线就要跟原来的两条直线都相交，
那么跟这两条直线相交，在新增的这条直线上就出来
两个交点。那么这样就变成了点分直线，一个点最多
把直线分成两个部分，两个点最多把直线分成3个部
分，这都是正确的结论，所以，新增加的这条直线跟
原来的两条直线都相交，就在新增加的这条直线上交
出了两个新交点，这两个交点把信增加的这条直线，
就最多分成了3个部分，而这3各部分分别是把他们
穿过的平面部分一分为二，所以新增加3个部分，而
不是信增加了4个部分，原来2条直线交出了4个部
分，现在又新增加了3个部分，所以3条直线最多分
成了7个部分，这就是逻辑推理。
那么为了类比更顺利一些，我们再看看4条直线，
4条直线最多把平面分成多少个部分？应该是11个部
分。那么我们能不能逻辑推理来证明。3条直线最多
把平面分成了7个部分，现在新增加的这条直线，要
想使分的部分数最多，就要相交情况最复杂，而相交
情况最复杂，新增加的这条直线就要与原来的3条直
线都相交，从而就在新增加的这条直线上，交出3个
新交点，而点分直线3个点最多把直线分成4个部分，
那么这4个部分分别把这条直线所穿过的平面的相应
的部分一分为二，原来3条直线分平面最多已经分成
了七个部分，现在这4个部分，又把原来相应的地方
一分为二，就多了4个部分，所以就是4+7等于11
个部分。
现在我们类比来看，这回的类比已经不是简单的
类比了，硬件是逻辑推理了。我们看4个平面部分分
空间。3个平面多把空间分成8个部分，然后新加进
去一个平面，要想把空间分的部分数最多，就要相交
情况最复杂，所以新加去的这个平面，就要与原来的
3个平面都相交，因此，就在新增加的这个平面上得
到了3条新的交线，而在这个平面上这3条新交线，
最多把新增加的这个平面分成了7个部分，这7个部
分都把新增加的这个平面穿过的相应空间部分一分为
二。原来的3个平面已经把空间分成了8个部分，现
在又有7个部分一分为二了，所以4个平面最多把空
间分成15个部分。这是严格的逻辑推理。
那么5个平面分空间最多能分成多少个部分呢？
用刚才类比和推理的思路去解答，4个平面最对能把
空间分成15个部分，现在新增一个平面，要使得分的
部分数最多，那么就要相交情况最复杂，这个新平面
就要与原有4个平面都相交，就会有4条新的交线产
生，这4条新交线可以最多把这个心平面分成11个部
分，这11个部分可以分别把这个新平面通过的空间一
分为二，就会新增11个空间部分，所以5个平面可以
最多把空间分为26了部分。
那么我们现在推广到n个相交的情况，n个平面
它最多把空间分成的部分，要先假设n-1个平面相交
最多把空间分成m个部分，第n个平面加入的时候，
要与前面n-1个平面都相交，产生n-1条新的交线，
假设这n-1条新交线最多能把平面分成a个部分，那
么着a个部分可以把新增的这个平面穿过的相应的空
间一分为二。也就是说，新增了a个部分，那么n个
平面相交，最多可以把空间分成的部分数就是m+a个。
当然，这里面还有进一步的工作可以做，就是刚
才我们是从少到多逐渐递推，是能够推出来的，可这
n是5个、6个、7个、8个都是可以的，要是6000
个呢？所以我们需要把更整体的规律找到，我想只有
少数人可以考虑，更进一步地，我们直接去得到最终
的结论。
我们看到，类比，是一种合情推理，而且这个合
情推理通过我们今天的学习是非常有用的，特别是它
是获得新思路新发现的一种观点，一种手段，一种方
法，我们应该学会类比这种合理推理。