整理为word格式 第七讲 连续型随机变量（续）及 随机变量的函数的分布 3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布 设连续型随机变量X具有概率密度

)5.4(,,0,,1)(其它bxaabxf 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).

X的分布函数为 )6.4(.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF （2）指数分布 设连续型随机变量X的概率密度为

)7.4(,,0,0,e1)(/其它xxfx

其中>0为常数, 则称X服从参数为的指数分布. 容易得到X的分布函数为

)8.4(.,0,0,1)(/其它xexFx 如X服从指数分布, 则任给s,t>0, 有

第二章 随机变量及其分布 §4 连续型随机变量 及其概率密度

Oxf(x)123123=1/3

=1=2 整理为word格式

P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9) 事实上 整理为word格式 }.{eee)(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(tXPsFtsFsXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXPtsts











性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布 设连续型随机变量X的概率密度为

)10.4(,,e21)(222)(xxfx



其中,(>0)为常数, 则称X服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(,2). 显然f(x)0, 下面来证明 1d)(xxf

令tx/)(, 得到

dxedxetx22)(2222121



.1d21d21)11.4(π2dde,,dd,de22)(200222/)(22/2222222xexerrIuteItItxrutt于是得转换为极坐标则有记

f(x)具有的性质: （1）.曲线关于x=对称. 这表明对于任意

f(x)的图形:Oxf(x)=5=5

0.2660.3990.798xO

f(x)1.510.5 整理为word格式

h>0有 P{-h（2）.当x=时取到最大值

.π21)(f x离越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离越远, X落在这个区间上的概率越小。在x=处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。

X的分布函数为 )12.4(,deπ21)(222)(xttxF

特别:当=0, = 1时称X服从标准正态分布. 其概率密度和分布函数分别用(x)和(x)表示, 即有

)14.4(.deπ21)()13.4(,21)(2/2/22xtxtxex

易知 (-x)=1-(x) (4.15) 人们已经编制了(x)的函数表, 可供查用(见附表2).

引理 若X~N(,2), 则)1,0(~NXZ

1F(x)0.5xO 整理为word格式

证明：的分布函数为XZ 整理为word格式 得令,,deπ21}{}{222)(uttxXPxXPxZPxt















),(deπ21}{2/2xuxZPxu

由此知Z~N(0,1).

若X~N(,2), 则它的分布函数F(x)可写成:

)()16.4(}{}{)(xxXP

xXPxF

则对于任意区间(x1,x2], 有 )17.4(.}{122121xxxXxPxXxP

例如, 设X~N(1,4), 查表得

.3094.06915.016179.0)]5.0(1[6179.0)5.0()3.0(210216.1}6.10{

XP

设X~N(,2), 由(x)的函数表还能得到: P{322368.26%

95.44%99.74% 整理为word格式

=2(1)-1=68.26% P{ 整理为word格式 2}=(2)-(-2)

=95.44% P{3=99.74% 我们看到, 尽管正态变量的取值范围是(,), 但它的值落在(3,3)内几乎是肯定的事. 这就是人们所谈的"3"法则.

例１ 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内. 调节器整定在d°C, 液体的温度X(以°C计)是一个随机变量, 且X~N(d, 0.52). (1) 若d=90, 求X小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99, 问d至少为多少? 解 (1)所求概率为

.0228.09772.01)2(1)2(5.090895.090}89{XPXP

(2) 按题意需求d满足

.1635.81.327.25.080),327.2()327.2(199.015.0805.08015.0805.015.0805.0}80{99.0ddddddXPddXPXP故需亦即 设X~N(0,1), 若za满足条件 P{X>za}=a, 0整理为word格式

则称点za为标准正态分布的上a分位点.由(x)的对称性知z1-a=-z

a

z 常用的几个za值：

1.2821.6451.9602.3272.5763.090z0.100.050.0250.010.0050.001

（课间休息） 随机变量的函数的分布 例１ 设随机变量X具有以下的分布律, 试求Y=(X-1)2的分布律.

0.40.10.30.2pk

2101X

解 Y所有可能值为0,1,4, 由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,

0.20.70.1pk

410Y

例２ 设随机变量X具有概率密度 



.,0,40,8)(其它xx

xfX

求变量Y=2X+8的概率密度. 解：分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y). 下面先来求FY(y).

.2828}82{}{)(yFyXPyXPyYPyF

XY

将FY(y)关于y求导数, 得Y=2X+8的概

§5 随机变量的函数的分布 在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣. 例如, 在一些试验中, 所关心的随机变量往往不能由直接测量得到, 而它却是某个能直接测量的随机变量的函数. 比如我们能测量圆轴的直径d, 而关系的却是截面积A=pd2/4. 这里, 随机变量A是随机变量d的函数. 下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g(•)是已知的连续函数)的概率分布. 整理为word格式

率密度为