1 算符函数及其应用 物理与能源学院 物理学专业 106012011017 吴敬圣 指导教师：林秀敏
【摘要】由于微观粒子具有波粒二象性，导致在量子力学中力学量必须用算符表示，因此研究算符函数具有重要意义。本文首先系统地阐述了算符、算符函数的定义及其在量子力学中的相关应用；接着基于算符代数的非对易特性，介绍算符和算符函数的几个常用公式；然后以受外场驱动的N个二能级原子与单膜腔场相互作用系统为例，说明如何利用算符函数对一个难以求出本征解的哈密顿量进行变换和简化，从而得到能求出本征解的有效哈密顿量，以此说明算符函数在处理量子系统问题时的重要作用。 【关键词】算符；算符函数；哈密顿量
1引言 量子力学是描述微观粒子运动规律的一门学科。由于微观粒子具有波粒二象性，所以在量子力学中，微观粒子的状态不能再采用与描述经典粒子相同的方式去描述[1]，而必须用波函数描述。如果已知波函数的具体形式，那么粒子在空间各点出现的概率即可求出。同样地，微观粒子的波粒二象性也决定了量子力学中各力学量（如坐标、动量、角动量等）的性质不同于经典物理中的力学量[2]。经典物理中各力学量在一切状态下都具有确定值，但在量子力学中力学量可能有多种可能值，且力学量之间可能存在相互制约关系，如坐标和动量就不可能同时具有确定值。因此，量子力学中力学量的描述方式与经典方式不同，必须采用算符方式描述[3-5]。 算符代数与普通代数之间的最大区别在于：算符的顺序是有意义的，而普通代数的顺序无关紧要，这一点使算符代数有着许多不同的运算性质 [6-8]。力学量在量子力学中是用算符表示的，往往是算符函数。因此，量子理论必须采用非对易代数来处理有关问题。众所周知，无论在量子光学还是在量子力学、量子场论、量子信息学中，往往需要求解哈密顿量的本征解，其体系的哈密顿量往往比较复杂，很难用解析的方法求出其本征解。但如果利用算符函数对其进行简化，那么就可以求解简化形式的近似解。如对大多数实际量子体系，其哈密顿算符本征值往往难以求解，我们必须借助算符函数对该哈密顿算符进行变换和化简，得到可以求解出本征值的有效哈密顿量。前人对于算符已经进行了许多讨论，例如算符的运算[9]、量子态的叠加性质[10]、力学量与算符的关系[11]等等。同时，已有许多文献在具体求解时使用了算符函数 [12-14]。因此，系统探讨算符函数及其应用对处理量子系统实际问题具有重要的意义。为了更好地体现算符函数在处理实际量子问题的重要作用，本文就利用一个具体的例子，详细阐述如何利用算符函数求解量子系统问题。
2算符 2.1 算符 所谓算符，就是使问题从一种状态变化为另一种状态的手段[15-16]。从数学上看, 算符被定义为由一个函数集向另一个函数集的映射，即指作用在一个函数上得到另一函数的运算符号，其单独存在时并没
有什么意义。如微分算符ddx作用在函数()ux上就代表对()ux的求微分运算，其数学表达式为()duxdx。
2.2 量子力学中的力学量算符及其运算规则
由于微观粒子具有波粒二象性，导致在量子力学中引入算符来表示微观粒子的力学量。众所周知， 2
量子力学中描述粒子状态的波函数必须满足线性迭加原理（或态迭加原理），因此量子力学中的力学量算符必为线性厄米算符，即力学量算符ˆF必须满足：
11221122ˆˆˆ()FcucucFucFu (1)
其中1u与2u是任意波函数，1c与2c是任意的两个常数（一般为复数）。对于有经典对应量的力学量，其相应算符ˆF的构成规则如下：只要把其经典表达式(,)Frp中的r用坐标算符ˆr代替，p用动量算符ˆp代替，即ˆˆˆ(,)Frp
。
在量子力学中，微观体系的状态（波函数或态矢)和力学量的具体表达形式称为表象。在不同表象中，算符的具体形式是不同的。如在以坐标为自变量的坐标表象中，坐标算
符ˆr就是坐标本身，即ˆrr，动量算符为ˆrpi；在以动量为自变量的动量表象中，动量算符ˆp
就是动量本身，即ˆpp，坐标算符为ˆpri。量子力学中可以有无穷多种的表象。在实际应用中采用哪一种表象常常取决于所研究物理问题的具体特性, 方便于数学求解或对于物理图象的理解。 2.3 算符函数
设给定一个函数()Fx，其各阶导数均存在，幂级数展开收敛，()0()!nnnFFxxn（0），则可以定义
算符ˆA的函数ˆF（A）为 ()0ˆˆ()!nn
nFFAAn
（0）
. (2)
例如，()axFxe，可定义
0()!dnnadxnndadFedxndx. (3)
. 两个或多个算符的函数也可以类似定义。例如，令
(,)(,)(,)nmmnnmFxyFxyxy
. (4)
2.4 算符函数的若干常用公式 下面介绍几种常用的算符函数公式：
1．定义对易式ˆˆˆˆˆˆ[,]ABABBA，对易式满足下列代数恒等式： ˆˆˆˆ
[,][,]ABBA， 3
ˆˆˆˆˆˆˆ
[,][,][,]ABCABAC，
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
[,][,][,],ABCBACABC
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
[,][,][,]ABCABCACB，
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
[,[,]][,[,]][,[,]]0ABCBCACAB. (5)
2．kerBaHausdoff定理：如果两个非对易算符ˆˆ,AB满足 ˆˆˆˆˆˆ
,,,,0AABBAB
， (6)
则有 11ˆˆˆˆ
.,ˆˆˆˆˆˆ22ABABABABBAeeeeeee
. (7)
3．如果函数(,)faa可展开为aa和的幂级数，其中，产生算符a和湮灭算符a满足对易关系 [,]1aa，则有：
,(,),fafaaa (8)
,(,).fafaaa
(9)
4．如果(,)faa可展开为幂级数，则有 ,xaaxaaxeaeae (10)
,xaaxaaxeaeae (11)
(,(,)xaaxaaxxefaaefaeae）. （12）
5．对于玻色算符a和a+，以下关系式成立 ,xaxaeaeax （13）
xaxaeaeax. （14）
3算符函数的应用 既然力学量算符都是算符函数，因此算符函数在处理量子问题时尤其在量子力学、量子场论、量子光学和量子信息学中应用很广泛。如对大多数实际量子体系，其哈密顿算符本征值问题往往难以求解，我们必须借助算符函数对该哈密顿算符进行变换和化简，得到可求出本征解的有效哈密顿量。下面我们 4
以N个二能级原子与一个单膜腔场相互作用系统为例[17]，来说明算符函数在简化体系哈密顿量中的重要作用。
如图1所示，一个单膜腔场（频率为）和N个二能级原子（跃迁频率为）相互作用系统，原
子受外部经典场驱动（频率为l），则系统哈密顿量为：
， （15）
图1 外场驱动下的N个二能级原子与单膜腔场的相互作用 其中 je和jg分别表示第j个原子的激发态和基态，a和a分别是腔模的产生和湮灭算符，g和分别是腔模与原子间的耦合常数和驱动场与原子间的耦合系数，原子下降算符jjjge，原子上升算符jjjeg，(15)式左边第一项1Njj表示N个原子能量，第二项aa表示腔场能
量，第三项1()llNititjjjee表示驱动场与原子间相互作用能，第四项1()Njjjgaa表示原子与腔场间相互作用能。在真实情况下，腔场与原子的相互作用还应该包括它与损耗环境间的相互作用。但在这里，我们只考虑强耦合作用即g>k（k为耗散系数），这样损耗可以被忽略。尽管如此，该哈密顿量的本征值仍很难求解。为得到量子态随时间的演化情况，我们把该哈密顿量变换到以驱动场频率转动的参考系中，即令
01NljjljHaa
， (16)
0HHH， (17)
其中 5
001111 (18) ()() llNNjjljjljjNNititjjjjjjaaaaegHaHHea
令 l，l，得：
111()()llNNNititjjjjjjjjjaeeaaHag. (19)
在以驱动场频率转动的参考系中，算符H变换为： 00L
iiHtHtHeHe
11()11()1 (20)[() ()] NljjjllNljjjiaatNNititjjjjjjiaatNjjjeaaeegaae
因为
(21), . jjjjjjjjjjjjjjjjjjeggeegegeggeeg
这样，利用泰勒级数展开， 2
32() ,,,2!() ,,,3!() 2!ljjljjititljjljjjjjjjjljjjjjjjljljiteeitititit3 (22)()3! lljjitjit
e 同理可得： ljjljjlitititjjeee . (23) 由（10）和（11）式得 llliaatiaatiteaeae， (24)
llliaatiaatiteaeae
. (25)
将式（21）-（25）代入到（20）中，得：