线性代数知识点总结
第一章 行列式
第一节：二阶与三阶行列式

把表达式11221221aaaa称为11122122aaaa所确定的二阶行列式，并记作11122112aaaa，

即1112112212212122.aaDaaaaaa结果为一个数。
同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为由数

表111213212223313233aaaaaaaaa所确定的三阶行列式，记作111213212223313233aaaaaaaaa。

即111213212223313233aaaaaaaaa=112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa
二三阶行列式的计算：对角线法则
注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：

对二元方程组11112212112222axaxbaxaxb

设111221220aaDaa1121222baDba1112212.abDab

则1122221111122122babaDxaaDaa，1112122211122122.ababDxaaDaa
对三元方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb，
设1112132122233132330aaaDaaaaaa，
11213
122223
33233

baaDbaabaa，1111322122331333abaDabaaba，1112132122231323aab
Daabaab
，

则11DxD，22DxD，33DxD。（课本上没有）
注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。

第二节：全排列及其逆序数
全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）。
n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn (或A
n
)表示。（课本P5）

逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后
面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本
P5）
计算排列逆序数的方法：

方法一：分别计算出排在1,2,,1,nnL 前面比它大的数码之和即分别算出
1,2,,1,nnL
这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。
方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的
逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）

第三节：n阶行列式的定义

定义：n阶行列式111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积

1212n
ppnp
aaaL
的代数和，其中p1 p2 … pn是1， 2， … ，n的一个排列，每一项的符号由

其逆序数决定。1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaaLLLLLMMOML也可简记为

detija
，其中ija为行列式D的（i，j元）。

根据定义，有121212111212122212121LLLLLMMOMLnnnntpppnppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa
说明：
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程
组的需要而定义的;
2、n阶行列式是!n项的代数和;
3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;

4、1212nppnpaaaL的符号为1t，t的符号等于排列12,,...nppp的逆序数

5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆。
推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。

即1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaaLLLLLMMOML

推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于121nn乘
以其副对角线上各元的乘积。

即1212nnLO，1122121nnnnLN
第四节：行列式的性质

定义 记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaLLMMOM，112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaaLLMMOML，行列式TD称为行列式
D
的转置行列式。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。
说明 行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。

性质2 互换行列式的两行 ijrr或列ijcc，行列式变号。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()jkrk，等于用数k乘此行列
式；
推论1 D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;
推论2 D中某一行（列）所有元素为零，则=0D。
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则
1112111212222212()()()iin
iin

nnnininn

aaaaaaaaaaDaaaaa








LL
LL
MMMM
LL

1112111112112122222122221212inin
inin

nnninnnnninn

aaaaaaaa
aaaaaaaa

aaaaaaaa







LLLL
LLLL
LLLLLLLLLL
LLLL

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
行列式的值不变。

计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算 ijrkr把行列式化为上三角形行列式，从
而算得行列式的值。
说明 行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成
立。

第五节 行列式按行（列）展开
余子式 在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的1n阶行列

式叫做元素ija的余子式，记作ijM。
代数余子式 1ijijijAM记，叫做元素ija的代数余子式。
引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）(,)ij元外ija都为零，那么
这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijDaA。

定理 n阶行列式 111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa等于它的任意一行（列）的各元素与其对应
的代数余子式的乘积之和，即1122iiiiininDaAaAaAL，
(1,2,,)inL1122jjjjnjnjDaAaAaAL或，(1,2,,)jnL
。

扩展 范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()LLLMMOMLnnnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx
展开定理推论 n阶行列式 111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa的任意一行（列）的各元素与另一
行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即
11220()isisinsn
aAaAaAisL
11220()jtjtnjnt
aAaAaAjtL或