[收稿日期]２０１８Ｇ０３Ｇ１１; [修改日期]２０１８Ｇ０４Ｇ０６ [基金项目]国家自然科学基金(６１３７０１７７);广州市科学技术局项目(２０１７０７０１０２２７)
[作者简介]黄辉(１９６８－),男,博士,副教授,从事偏微分方程数值解、图像处理与模式识别研究．Email:xxhuanghui＠１２６．com
第３４卷第３期大 学 数 学Vol．３４,№．３
２０１８年６月COLLEGEMATHEMATICSJun．２０１８
一个不等式猜想的证明及推广黄 辉(广东财经大学统计与数学学院,广州５１０３２０)
[摘 要]针对«数学通报»２００３年９月号第１４５４问题,利用数学分析的方法证明基于该问题的一个不
等式猜想．在此基础上,给出其更一般的推广形式及证明,并指出«绵阳师范学院学报»２０１４年１１月康晓蓉文中错误．最后,举例说明其应用．[关键词]不等式猜想;推广;证明;应用
[中图分类号]O１７２ [文献标识码]C [文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１８)０３Ｇ００９９Ｇ０４
１ 引 言
«数学通报»２００３年９月号第１４５４问[１]:设a,b＞０,求证:aa２＋３b２＋bb２＋３a２≥１．
在文献[２]中,康晓蓉提出一个猜想及其等价命题
不等式１:设a,b,c∈ℝ＋,则
aa２＋４(b２＋c２)＋bb２＋４(c２＋a２)＋cc２＋４(a２＋b２)≥１,(１)
其中等式成立当且仅当a＝b＝c成立．不等式２:设x,y,z∈ℝ＋且x＋y＋z＝１
,则
１４x－３＋１４y－３＋１４z－３
≥１,(２)
其中等式成立当且仅当x＝y＝z＝１３成立．２ 等价命题的证明及应用
定理１ 在题设条件下不等式(
１)与不等式(２)等价．
证 aa２＋４(b２＋c２)＋bb２＋４(c２＋a２)＋cc２＋４(a２＋b２)≥１
⇔１１＋４(a２＋b２＋c２a２－１)＋１１＋４(a２＋b２＋c２b２－１)＋１１＋４(a２＋b２＋c２c２－１)≥１．令x＝a２a２＋b２＋c２,y＝b２a２＋b２＋c２,z＝
c２
a２＋b２＋c２,则上式等价于
１４x－３＋１４y－３＋１４z－３
≥１．
不难看出,x,y,z∈ℝ＋且x＋y＋z＝１．
以下将证明不等式(２)成立．首先,给出一个引理．
引理[３](Jensen不等式) 若f(x)为区间
I上的下凸(上凸)函数,则对于任意xi∈I和满足的
∑n
i＝１
λi＝１的λi＞０(i＝１,２,,n),成立
f(∑ni＝１λixi)≤∑ni＝１λif(xi) (f(∑ni＝１λixi)≥∑ni＝１λif(xi))．
特别是当λi＝１n(i＝１,２,,n)时,有
f(１n∑ni＝１xi)≤１n∑ni＝１f(xi) (f(１n∑ni＝１xi)≥１n∑ni＝１f(xi))．
证
记f
(x)＝１４x－３＝x４－３x,利用对数求导法,可得
f′(x)＝２x(４－３x)x４－３x, f″(x)＝
４(３x－１)
x２(４－３x)２x
４－３x．
当x＞０,４－３x＞０,３x－１≥０,ìîíïïï即１３≤x＜４３时,f′(x)＞０,f″(x)≥０．
故f(x)在[１３,４３)内严格递增且下凸,由引理知f(x)＋f(y)＋f(z)≥３f(x＋y＋z３)＝３f(１
３)＝１,
即不等式(２)得证．例１(２００１年国际数学奥林匹克试题) 设a,b,c∈ℝ＋,则
aa２＋８bc＋bb２＋８ca＋cc２＋８ab≥１．
证 因为b２＋c２≥２bc,所以a２＋４(b２＋c２)≥a２＋８bc．
故有
aa２＋８bc≥aa２＋４(b２＋c２)
成立,同理可证bb２＋８ca≥bb２＋４(c２＋a２), cc２＋８ab≥cc２＋４(a２＋b２)．
从而
aa２＋８bc＋bb２＋８ca＋cc２＋８ab
≥aa２＋４(b２＋c２)＋bb２＋４(c２＋a２)＋cc２＋４(a２＋b２)≥１．
３ 不等式的推广及证明
文献[２]给出不等式(１)和不等式(２)的进一步推广形式
００１大 学 数 学 第３４卷(i)设n≥４,n∈ℕ,a１,a２,,an∈ℝ＋,则
a１a２１＋(n＋１)∑ni＝２a２i＋＋aka２k＋(n＋１)∑ni＝１,i≠ka２i＋＋an
a２n＋(n＋１)∑n－１i＝１a２i
≥１．(３)
(ii)设n≥４,n∈ℕ,x１,x２,,xn∈ℝ＋且∑ni＝１xi＝１,则
１n＋１x１－n＋１n＋１x２－n＋＋１n＋１
xn
－n
≥１,(４)
其中等式成立当且仅当x１＝x２＝＝xn＝１n成立．笔者认为文献[２]推广表述及证明均有误,不等式(１)和(２)推广后,可得以下命题
定理２ 设n≥４,n∈ℕ,a１,a２,,a
n∈ℝ
＋
,则
a１a２１＋(n＋１)∑ni＝２a２i＋＋aka２k＋(n＋１)∑ni＝１,i≠ka２i＋＋an
a２n＋(n＋１)∑n－１i＝１a２i
≤１．(５)
定理３ 设n≥４,n∈ℕ,x１,x２,,xn∈ℝ＋且
∑n
i＝１
xi＝１
,则
１n＋１x１－n＋１n＋１x２－n＋＋１n＋１
xn
－n
≤１．(６)
类似可证明定理２与定理３等价．下证定理３成立．
证
记g
(x)＝１n＋１x－n＝xn＋１－nx,利用对数求导法,可得
g′(x)＝n＋１２x(n＋１－nx)xn＋１－nx,g″(x)＝
(n＋１)(４nx－n－１)
４[x(n＋１－nx)]２
x
n＋１－nx．
当x＞０,n＋１－nx＞０,４nx－n－１≤０,ìîíïïï,即０＜x≤１４＋１４n时,g′(x)＞０,g″(x)≤０．故g(x)在(０,１４]内严格递增且上凹,由引理知∑ni＝１g(xi)≤ng(１n∑n
i＝１
xi)＝ng
(１
n)＝１,
即定理３得证．
４ 结 论
本文利用Jensen不等式和数学分析的方法证明了两个等价不等式及其推广形式,并给出实例加以说明．
[参
考 文
献]
[１] 吴永锋．一个猜想的证明[J]．数学通报,２００３,１６(７):４３．
[２] 康晓蓉．对一个不等式的推广证明及进一步猜想[J]．绵阳师范学院学报,２０１４,３３(１１):１０－１１,１５．
１０１第３期 黄辉:一个不等式猜想的证明及推广[３] 陈纪修,於崇华,金路．数学分析(上)[M]．２版．北京:高等教育出版社,２００４．
[４] 廖俊俊,吴洁．关于凸性的一些探讨[J]．大学数学,２０１６,３２(６):９１－９５．
[５] 刘长剑,汤正谊．一个不等式的证明[J]．大学数学,２０１２,２８(６):１００－１０１．
TheProofandExtensionofanInequalityConjectureHUANGHui(SchoolofStatisticsandMathematics,GuangdongUniversityofFinanceandEconomics,Guangzhou５１０３２０,China)
Abstract:Inviewofthe１４５４thproblemoftheSeptember２００３mathematicalbulletin,amathematicalanalysis
methodisusedtoproveaninequalitybasedontheproblem．Onthisbasis,themoregeneralformandproofofitsextensionaregiven,andalsopointsouttheerrorsofKangXiaoＧrongintheJournalofMianYangNormalUniversityinNovember２０１４．Finally,anexampleisgiventoillustrateitsapplication．Keywords:inequalityconjecture;extension;proof;application
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