即A的向量组{a1,a2, ,an}
为Rn的一组标准正交基.
此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
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定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵.
4.3 正交矩阵及其性质
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定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I,
就
称A为正交矩阵.(A-1=AT )
定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A
的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.
证设
a11 a12 L a1n
A
a21 M
a22 M
L OaM2n 源自an1 an2 L ann
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定理 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。
推论1 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
A是正交矩阵 AT A-1
AT 是正交矩阵
c
c
方阵A的列向量构成 标准正交组
方阵A的行向量构成 标准正交组
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例 现有标准正交组
按列分块为[a1,a2,...,an],
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于是
AT
A
aa12TT
M
a1,a2 ,L
,an
aa12TTaa11
M
a1Ta 2 a 2Ta 2
M
L L O
a1Ta a2Ta
n n
M
a
T n
a
aT
n1
a nTa 2
L
anTan
因此ATA=I的充分必要条件是
aiTai (ai ,ai ) 1, i 1,2, , n; 且 aiTa j (ai ,a j ) 0, j i, i, j 1,2, , n.
cos AX , AY ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos X ,Y , | AX || AY | | X || Y |
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
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证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
(iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵.
18
18
a (- 4 , 1 , 1 )T
18 18 18
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定义 若A为正交矩阵，则线性变换 Y AX
y1
a11x1 L LLL
a1n xn
ym am1x1 L amn xn
n
或 yi aij xj i 1,L , m. j 1
称为正交变换。
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
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也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩 阵A作用下变换为AX, AYRn, 则向量的内积 与长度及向量间的夹角都保持不变, 即
(AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|,
{AX,AY}={X,Y}. 证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y
=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此
a1
(1 3
,
2 3
,
2) 3
a2 (0,
1 ,2
1) 2
a 求三维向量 使得矩阵 (a1,a2 ,a ) 为正交矩阵
解 a (x, y, z)T a1,a2 ,a 是标准正交组
a1a 0 a2a 0
a 1
1 3
(x
2
y
2
z)
0
1 (y - z) 0
2
x2 y2 z2 1
xm 4 yz 1