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ｕｏ ） ～ （１ （１， ｕｏ ） ， ，为两个相互独立的随机函数。为了减小
收稿 日期 ：０ 卜１— ５ ２１ ２０ 作者简介 ： 魏振方（９ ３） 男， １ ７一 ， 硕士， 主要研 究方 向： 人工智能及应用 。
计算机 时代 ２ １ 年 第 ４期 ０２
在进化过 程 中粒子离开搜 索空间的可能性 ， ｖ通常限定于一定
到满 意解或达 到最 大的迭代次数 为止（ 的位置 即是要 寻找 粒子 基本相 同 ， 应值很难进一步提高为止 。 适 的解） 。因此 ， 粒子 群优 化算 法具 有多 点 寻优 、 行处 理 等特 并
点。而且粒子群优化算法 的搜 索过程是从初始解群开始 ， 以模 ２ 仿 真研 究 型对 应 的适 应 函数 作为寻优 判据 ， 从而直 接对解群进 行操作 ，
０ 引言
踪两个” 极值” 来更新 自己 ， 第一个就是粒 子本身所找到 的最优
这个解 叫做个体极值 ｐ ｅｔ另一个 极值是整个种群 目前找 Ｂ ｓ， 非线性 系统 广泛地 存在于人 们的生产生 活 中 ， 但是 ， 前 解 ， 目 到的最优 解 ， 这个 极值是全 局极值 ｇ ｅｔ Ｂ ｓ。另外也可 以不 用整 我们对非 线性系统 的认识还不够 深入 ， 不能像 线性系统那 样 ， 那么在所 有邻居 把 所涉及的模型全部规范化 ， 从而使辩识方法也规范化 。非线 个 种群而只是用其 中一部分作 为粒 子的邻居 ， 是模拟 自然 界生物的群 性模型的表达方式相对 比较复杂 ， 前还很少有人研究 各种表 中的极值就是局部极值 。其基本思想 目 即从一 组初 始解 群开始 迭 达方式是 否存在等效 关系 ， 因此 ， 时还 没有找到 对所有非 线 体行 为来构 造解 的随机 优化 算法 ， 暂 代， 逐步 淘汰 较差 的解 ， 生更好 的解 ， 产 直到满 足某 种收敛 指 性模型都适用的参数模型估计方法ｕ 。如果能 找到 一种不依赖 即得到了 问题 的最优 解 。假设在 一个 ｎ 维的 目标搜 索空间 于非线性 模型 的表 达方式 的参数估计方 法 ， 那么 ， 也就找到 了 标 ， 中， ｍ个粒子组 成一个 群落 ， 中第 ｉ 有 其 个粒子在 ｎ 维搜 索空 间 对一般非线性模 型系统进行参数估计的方法 。 粒子群优化算 法 Ｐ ｒｃ ｗ ｒ Ｏ ｔ ｚｔｎ 简称 Ｐ Ｏ） （ａｔ ｌ Ｓ ａｍ ｐｉ ｉ ， ｉｅ ｍａ ｏ Ｓ 中的位置表 示为一个 ｎ 向量 ， 维 每个粒 子的位置代表一个 潜在 是由 Ｋ ｎ ｅ ｙ ｅ ｎｄ 博士和 Ｅ ｅｈｒ博士于 １９ 年提出的一种基于群 的 解 。 设 ｘ （ｉ Ｘ２…， ）为 粒 子 ｉ的 当 前 位 置 ； ｂｒａ ｔ ９５ ｉ Ｘｌ ｉ ， ， ｘ 体智能 的优化算法 ， 源于对 鸟群 群体运动 行为的研究 ， 它 即粒 ｖ （ ｌＶ。… ， ｉ 为 粒 子 ｉ 当 前 飞 行 的 速 度 ； ｉ ｖ ｉ Ｖ ， ， ） 子群优化算法模拟 鸟群 的捕 食行 为。设想这样一个场景 ： 一群 ｐ ， ｐ 为粒 子 ｉ 所经历 的最好位置 ， 也就 是粒子 ｉ 鸟在随机 搜索食物 ， 这个 区域 里只有一块 食物 ， 在 所有 的鸟都 ｐ （ ｐｚ… ， ） 不知 道食 物在 那里 ， 是他们 知道 当前 的位置离 食物 还有 多 所 经 历 过 的 具 有 最 好 适 应 值 的 位 置 ， 为个 体 最优 位 置 ； 但 称 远， 那么找到食物的最优策略是什么呢 ？最简单有效 的方法就 是搜 寻 目前离 食物最近 的鸟的周 围区域 。粒子群 优化算 法从 这种模 型 中得 到启示并 用于解决一些优 化 问题 。粒子群优 化 优位置 ， 为全局最优位置 。将 ， 称 带入 目标 函数计算 出其适应 算法 中 ， 每个 优化 问题 的解都是搜 索空 间中的一只 鸟 ， 我们称 值 ， 据适应值 的大小可 以衡量 ， 根 的优 劣。每个粒子 的位置和 之 为 “ 子” 粒 。所有 的粒 子都有一个 由被优化 的函数决 定的适 速度按下文 中式（） ４两个公式迭代求得 。用ｊ ３和（） 表示粒子 的第 应值（ｔ ｓ ｖｌ ） ｉ ｆ ｅｓ ａ ｅ， ｎ ｕ 每个粒 子还 有一个速度决定他 们飞翔的方 Ｊ ０ １ ２ … ，）ｉ 维 ＝ ， ， ｎ ，表示 第 ｉ 个粒 子（ ｌ ， ， ，表 示第 ｔ ， ｉ ， … ｍ）ｔ ＿２ 代
Ｗｅ ｈｎ ｆｎ ，ＱｉＭｉｇｕ ｉＺ ｅｇａｇ ｎ ｉｎ （ ｂ Ｏ ｃｐ ｔ ｎ Ｔｃｎｌｇ ｏｌ ｅ Ｈｅｉ ｃｕａｉ ｅｈｏｏ ｙ Ｃ ｌｇ ，Ｈｅｉ ｏ ｅ ｂ，Ｈｅａ ５ ０ ０ ｈｎ ） ｎ ｎ ４ ８ ３ ，Ｃ ｉａ
Ａｂｓｒ ｃ ： Ａｉ ｎ ｔｔｅ ｄｖ ｒｉ ｆ ｎ ｎｉｅ ｒ ｓ ｓｅ ｍ ｏ ｅ，ｉ ｉ ｐｏ ｏ ｅ ｎ ｔ ｓ ｒｉｌ ａ ｐ ｒｍ ｅｅ ｓｉ ｔ ｎ ｍｅ ｏ ａ ｅ ｏ ｔａ ｔ ｍｉｇ ａ ｈ ｉｅ ｓｔ ｏ ｏ ｌ ａ ｙ ｔｍ ｙ ｎ ｄ ｌ ｔ ｓ ｒｐ ｓ ｄ ｉ ｈｉ ａｔｃｅ ａａ ｔｒ ｅｔｍａｉ ｔ ｄ ｂ ｓ ｄ ｎ ｏ ｈ
Ｖｔ １＝ Ｖ ｔ Ｃ ｊ（Fra bibliotek 一 ｉ） ｃ２ ） 口 ）ｘ（） （ ｉ ＋ ） Ｗ ） １（ ｐ（ ｘ ｔ＋ ２Ｊ （Ｊ 一 ｉ） ４ ｊ （ ０ ＋ ｔ ｊ （ ） ｔ ｉ） ｒｔｐ （ ｉ ） （ （ ｔ ｔ ）
（） ８如未达到结束 条件 （ 通常为足够好 的适应值 ） 或达到一个 预 设最 大代数 Ｇ ｘ 则返回步骤 ２直至算法收敛 ， ｍａ ， 即所有个体
于计 算粒子 的速 度 ， 如当前是 ｔ 时刻 ， 则粒 子在 ｔ ｌ ＋ 时刻速度 是 由当前 时刻 的速度 、 当前 位置 与该粒 子 的局部最 优位 置 的距
当前的全局最优位置 。
（） ７根据下面 ２ 个公式对粒子 的速度和位置进行更新 ；
ｘｉ ＋ ） ｔ＋Ｖ （＋ ） ｉ １ ＝ｘ （ （ ｔ ） ｉ １ ｉ １ （） ３
［ Ｘ ， ］ 则可设定 Ｖ ＝ ｘ ￣， ． ｌ 一 ｘ 内， 一 ｋ ｘ ０ ｋ 。迭代 １
中 若 粒 子 的位 置 和 速 度 超 出 了 限 定 范 围 ， 取 边 界 值 。 则
Ｐ ＝（ Ｐ 。， ，） ｐ， 。Ｐ 的适应 值进行 比较 ， ， 若较 好 ， 则将 其作
ｐ（ 一 ｔ代表 第 ｉ 粒子 在 ｔ 刻位置到 直至 ｔ ｔ ｘ （ ） ） 个 时 时刻搜索 到 为 当前的最优位置 。 （） 于每 个粒 子 ， 其适 应值 与全局 所经 历 的最优 位置 ６对 将 的最优位 置的距离 ， （ 一ｘ， ） ｐ ， ） ｉｔ代表 第 ｉ ｔ （ 个粒 子在 ｔ 时刻位置 Ｐ （ Ｐ …， 的适应值 进行比较 ， ＝ ｐ Ｐ ） 若较好 ， 其作为 则将 到整个粒 子群 直至 ｔ 时刻搜索到的最优位置 的距离 。公式（） ２用
Ｐ （。 ｐ …， 。 为整个 粒子 群直 至 当前时 刻搜 索到 的最 。 ｐ ， Ｐ ）
向和距离 。然 后粒子们就 追随 当前 的最优粒 子在解空 间中搜 ｃ、。 加速度常 数 ， ｃ为 通常在 ０ 间取值 ， ２ ｃ调节粒子 向 自身 最 索 。粒子 群优 化算 法将 粒子 解初 始化 为一 群随机 粒子 （ 机 优 位置 飞行 的步长 ， 调节粒 子 向全 局最优 位置 飞行的步 长 。 随 ｃ ２ 解）然 后通过迭代找 到最 优解 。在每一次迭 代 中， 子通过跟 ， 粒
可适用于一般 非线 陛系统模型的参数估计 。
为 了体现粒 子群算 法能适用 于多种非线 性系统模 型的优
态 空 间 模 型 及 在 非 线 性 系 统 研 究 中 应 用 较 为 广 泛 的
我们分别 以非线性 系统 的传递 函数模型 ， 非线性系统 的状 而 与模型 的具体表 达方式无 关 。这就 决定 了粒 子群优化 算法 点 ， Ｈａ ｒｔ ｎ模型 ｍｍｅｓ ｉ ｅ 为例进行仿真研究。 传递函数模型的形式如下 ：
： 。 …
１ 基 于 粒 子 群 优 化 算 法 的 非 线性 系统 模 型 参 数 估 计
方法
１１ 问题 的提 出 ．
一
ｕ（ ） Ｓ
Ｔ ｓ４ －１
般非线性系统模型可用式（） 。 １ 表示
ｙ ｔ ＝ ｆｕ（。 ｔ０ ） （） （ ｔ ，， ） （） １
ｒ １
・３ ５・
（） ３计算适 应值 ｆ 再 根据式（） ｉ ， ２中确定 的适 应函数 计算 出各 个 ０对应的适应值 ｆ ｊ 。 （） ４计算每个 粒子的适 应值 。
（） 于 每个 粒 子 ， 其适 应 值 与 所 经 历 过 的 最优 位 置 ５对 将
范 围 内 ， Ｖ ∈ ＿ ～ ，— Ｊ 即 ｉ 【Ｖ Ｖ 。如 果 问题 的搜 索 空 间 限 定在 ｉ
・
３ ・ ４
Ｃｏ ｐ ｔｒ Ｅｒ ｍ ｕ ｅ ａ Ｎｏ ４ ０ ２ ． ２ １
非线性 系统模型参数估计 的算法模型
魏 振方 ，齐名 军
（ 壁 职业技 术 学院 ，河 南 鹤 壁 ４８０） 鹤 ５００
摘 要 ：针 对非线性 系统模型的 多样性 ， 出了适 用于 多种非线性模 型的基于粒子群优化算 法的参数估计 方法。 计算 提 结果表 明 ， 粒子群优化算法是非线性 系统模型参数估计的有效工具。 关键词 ：粒子群优化算法 ；非线性 系统 ；参数估计 ；优化
离、 当前 位置 与全局最优 位置 的距 离共 同决 定的 ； 公式（ 用于 ３ ） 计算 粒子速度更新后 的位置 ， 由粒子 当前位置 和粒 子更新后 它
的速 度决定 。所有粒子 的初 始位 置和速度随机产生 ， 然后根据 上述 两个 公式进行 迭代 ， 不断变化 它们 的速 度和位 置 ， 到找 直
ｐ ｒ ｃｅ ｇ ｏ ｐ ｏ ｔ ｚ ｔ ｎ ａｇ ｒ ｈ ｔａ ｓ ｐ ｌ ａ ｌ ｏ ａ ｖ ｒ ｔ ｆ ｎ ｎｉｅ ｒ ｍｏ ｅｓ ｈ ｅ ｕｔ ｓ ｏ ｈ ｔ ｔｅ ｐ ｒ ｃｅ ｇ ｏ ｐ ａ ｔ ｌ ｒ ｕ ｐ ｉ ａ ｏ ｌｏｉ ｍ ｈ ｔ ｉ ｉ ｍｉ ｉ ｔ ａ ｐｉ ｂ ｅ ｔ ａｉｙ ｏ ｏ ｌ ａ ｄ ｌ．Ｔ ｅ ｒ ｓ ｌ ｈ ｗｓ ｔａ ｈ ａｔ ｌ ｒ ｕ ｃ ｅ ｎ ｉ