b
a
Mdx M dx M (b a),
a
b
于是不等式成立. 其几何意义见图3.1.8.
性质5
积分中值定理
b
设f ( x) 在[a, b] 上连续,则在
上至少存在一点 , 使

证
a
f ( x)dx f ( ) (b a).
由 f ( x) 在闭区间[a, b] 上连续函数知, f ( x) 在[a, b]
故它们都是 cos 的原函数 , 即一个函数的原函数有无限多 x
个.
( x) G ( x) f( ) 与 定理1 若 , F都是 的原函数 ,x 则 G (仅差一个常数 x) , 即有 F (x G ( x) ). C C () 为常数
F ( x)
f ( x) 因此,只要找到了 的一个原函数 ,则 F ( x)
§3.1Biblioteka 3.1.11.曲边梯形的面积
定积分概念与性质
定积分概念
所谓曲边梯形, 是指如图3.1.1中阴影部分的图形,
它由 x 轴, 两条直线 x a、 x b ,以及连续非负曲线
y f ( x) 所围成. 当 f ( x)在区间 [a, b]的某端点或两端
点的函数值为0时, 曲边
梯形就成了图 3.1.2(a) 、
1 b 为函数 f ( x) 在区间 [a, b]上的 f ( x ) dx b a a 平均值,它是有限个实数算术平均值的推广.
例2
比较定积分

e
1
ln xdx 与 ln 2 xdx 的大小.
1
e
解
2 在区间 [1, e] 上, 故 ln x ln x, 从而 0 ln x 1,
定理知, 必有一点 [a, b], 使得 1 b f ( ) f ( x)dx. ba a 积分中值定理的几何意义见图3.1.9, 若f ( x) 在[a, b] 上连续,则以区间 [a, b]为底, f ( x) 为曲顶的曲边梯形面积 必定等于也以[a, b]为底, 某点 [a, b] 对应的函数值(假 设 f ( x) 0 )为高的矩形面积.我们称
n
A lim f (i )xi .
0
i 1
这里, 0 显然意味着 n , 但反过来不对,
即
n 时不一定意味着 0 ,因为分点的无限增多
并不能保证所有分点的距离能任意小(见图3.1.4).
例1 解
求以为曲边的曲边梯形面积(见图3.1.5). 采用等分点分割法, 令
30 1 1 30 y y (t )dt (8t 300)dt. 30 0 0 30 0
§3.2
定义1 若函数
牛顿—莱布尼兹公式
, F都定义在同一区间上，并 ( x) f ( x)
3.2.1 变上限积分
f ( x), 是 且满足 F ( x) 则称
x) 的导函数 F ( x) 说, f ( 是 ).
数值 f (i ) 与小区间长度 xi 的乘积 f (i )xi , 相加后得到 和式(称为黎曼和)
Sn f (i )xi .
i 1
n
记 max{x1 , x2 ,, xn }, 当 0 时,如果黎曼和S n 的
极限存在,而且此极限值与区间[a, b] 的分法及 i 的取法无
例4
证明不等式

b
a
f ( x)dx f ( x) dx.
a
b
证
由 f ( x) f ( x) f ( x) 及性质3得
b
f ( x) dx f ( x)dx f ( x) dx,
a
b
b
b
此即

a
f ( x)dx f ( x) dx.
a
b
a
a
例5
某商店在30天的销售过程中, 某货架上的商品
i 1 i i
n
被称为f ( x) 在[a, b]
上的黎曼(Riemann)和(见图3.1.3).
第四步
取极限
为了保证每一片足够窄, 我们要求最宽的一片的宽
度能无限变小, 于是记
max{x1 , x2 ,, xn },
则当 0 时, 每个小区间 [ xi 1 , xi ] 的长度 xi 也趋于零, 此时, 黎曼和的极限便应当是所求面积A的精确值, 即
g ( x)]dx k1 f ( x)dx k 2 g ( x)dx,
a a
b
b
其中 k1, k2 为任意两个常数, 这一性质表明常数因子可以从 积分中提出来;以及两个函数的和的积分等于积分之和. 性质2 分段积分法
b a

f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
b
上必有最小值 m 和最大值M , 由性质4, 得
m(b a) f ( x)dx M (b a). a 1 b 1 b 这说明 m 介于 f ( x)dx M , 即常数 f ( x ) dx ba a ba a f ( x) 的最小值与最大值之间,再由闭区间连续函数的介值,
将底边 [a, b] 分成 n 个小段 [ xi1 , xi ](1 i n),等分可以,
不等分也可以, 且记小区间长度为 xi xi xi 1. 任取点
i [ xi1, xi ], i 的任意性使得近似是可操作的.
第二步
近似
用矩形面积 f ( i ) xi代替 [ xi 1 , xi ] 上竖立的小曲边梯
2. 定积分的定义
定义
设函数f ( x) 在区间[a, b] 上有界, 用分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
(i 1,2,, n). 在每个小区间 [ xi 1 , xi ]上任取一点 i , 并作函
把区间[a, b] 分成 n 个小区间 [ xi 1 , xi ] ,其长度为xi xi xi 1
a c
c
b
这一性质表明(见图3.1.6)使用定积分表示的量具有可加
性: 整体等于部分之和. 性质3 定积分的比较 若 f ( x) g ( x), x [a, b], 则
b a

b
a
f ( x)dx g ( x)dx.
这一性质表明定积分可以保持被积函数的大小关系. 结合
几何意义和图3.1.7不难理解其含义.
1 2 n x0 0, x1 , x2 ,, xn 1, n n 1 n i 1 于是 xi , 又取 i xi1 (1 i n), n n
则
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 A lim[0 ( ) ( ) ( ) ] n n n n n n n n 1 2 2 2 2 lim 3 [1 2 3 (n 1) ] n n 1 1 1 lim 3 (n 1) n (2n 1) . n n 6 3
区间, x 称为积分变量, f ( x) 称为被积函数,f ( x)dx 称为被
i 1
a
积表达式.
以上定义是德国数学家黎曼于1854年严格给定的, 故 也称黎曼和定义. 关于此定义, 我们还须作几点说明: (1) 两个要素. 定积分的结果是一个常数, 这个常数的
大小取决于两个要素：被积函数 f ( x) 和积分区间[a, b] , 与积分表示式的变量采用的字母无关, 即
性质4
则
定积分的估计
b a
若m f ( x) M , x [a, b],
m(b a) f ( x)dx M (b a).
证 由性质3可知

由性质1得
b
a
mdx f ( x)dx Mdx.
a a
b
b

b
a
mdx m dx m(b a),
a
b

b b

a
f ( x)dx f (t )dt.
a
(2) 几何意义.由曲边梯形的面积问题及定义可知, 闭区
间[a, b] 上非负函数的定积分

b
a
f ( x)dx 表示由曲线 y f ( x) 、
x 轴、直线 x a 与 x b 所围的曲边梯形的面积;特别地,
当被积函数为1, 或积分区间长度为0时, 便有
例3 解
估计定积分 (1 sin x )dx 的值.
0


e
1
ln xdx ln 2 xdx.
1
e
由于0 sin x 1, 故 1 1 sin x 2, 从而有
1dx (1 sin x )dx 2dx 2 ,
0 0 0



即积分值在 与 2 之间.
形的面积 Ai ，即
Ai f (i )xi (1 i n).
第三步 求和
把每一片小曲边梯形的近似矩形面积相加, 便得到
A 的近似值：
A f (1 )x1 f ( 2 )x2 f ( n )xn f (i )xi
i 1 n
和式
f ( )x 作为A 的近似值,
F ( x) f ( x) (等价于 的一个原函数
(sin x) cos x, ( x 2 ) 2 x, 例如, 由于 故 是 的 x2 2x 一个原函数, 是 的一个原函数. sin x, 2 sin x, 3 sin x 注意到,由于 的导数都是 ,
sin x
cos x
cos x
关, 则称函数 f ( x) 在区间[a, b]上可积,称所得极限值为函