(7) sec2 xdx d tan x; (8) csc2 xdx d cot x;
(9)
1 dx d arcsin x;
1 x2
(10)
1 1 x2
dx
d
arctan
x.
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量代换 u (x) ，将积分
f ((x))(x)dx 化为积分 f (u)du ．第二类换元法是通 过变量代换 x (t) ，将积分 f (x)dx 化为积分 f ((t))(t)dt. 在求出后一个积分后,再以 x (t) 的
设函数 u u(x) 及 v v(x) 具有连续导数．那么，
(uv) uv uv, 移项，得 uv (uv) uv.
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对这个等式两边求不定积分，得
uvdx uv uvdx.
（5-4）
公式（5-4）称为分部积分公式. 如果积分 uvdx
不易求,而积分 uvdx 比较容易时,分部积分公式就可用了.
作代换 x asin t 或 x acost ；含有 x2 a2 时，可作
代换 x a tant；含有 x2 a2 时，可作代换 x asect.
利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换
即 x 1 等．
例19
求
t dx
x
. x2 1
解
令
x
1 t
,则
1 dx dt,
t2
因此
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分
公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
(14) tan xdx ln cos x C
(15) cot xdx ln sin x C
(16) sec xdx ln sec x tan x C
§5.2 求不定积分的几种基本方法
一、 第一类换元法（凑微分法） 先看下例：
例1 求 cos3 xdx.
解
cos3 xdx
cos
2
x
.
cos
xdx
cos2xdsin x (1 sin2 x)dsin x
设
u sin x, 则
cos3 xdx (1 u2 )du u 1 u3 C 3
1 cos x 1 cos x
C
ln tan x C. 2
类似地可得 sec xdx ln sec x tan x C.
例12 求
e
x
dx. x
解
e
x
dx 2
e
xd
x 2e x C.
x
例13 求 sec4 xdx.
解
sec4 xdx sec2 xd tan x (1 tan2x)d tan x
a
因而
a2 x2 dx a cos t a cos tdt a2 cos2 tdt a2 1 cos 2t dt 2
a2 (t 1 sin 2t) C a2 t a2 sin t cos t C
22
22
a2
x1
arcsin x
a2 x2 C.
2
a2
例17 求
1 dx(a 0).
1
dx 3x
1
3t 2dt 1 t
3
t2 11 dt
1 t
3 (t
1
1 )dt 1 t
3( t 2 2
t
ln
1 t
)
C
3 3 (x 1)2 33 x 1 3ln 1 3 x 1 C. 2
1
例15 求
dx. 1 ex
解令
1 ex
t，则
x
ln(t 2
1), dx
t
2t 2 1
dt
,则有
dx 2
(17) csc xdx ln csc x cot x C
(18)
dx a2 x2
1 arctan a
x a
C
(19)
dx x2 a2
1 2a
ln |
xa xa
| C
(20)
dx arcsin x C
a2 x2
a
(21)
dx ln(x x2 a2 ) C. x2 a2
解 令 u x2 1,
则
x x2 1dx 1 x2 1(x2 1)dx 2
，
1 x2 1d(x2 1) 2
1
udu
1
3
u2
C
2
3
1
(x2
3
1) 2
C.
3
例5 求 xex2 dx.
解 令 u x2,则 du 2xdx ,有
xex2 dx 1 ex2 (2x)dx 1 eudu
为简便起见,也可把公式（5-4）写成下面的形式:
udv uv vdu.
（5-5）
现在通过例子说明如何运用这个重要公式.
例22 求 x sin xdx.
解 由于被积函数 xsin x 是两个函数的乘积,选其中一
1 ln a x 1 ln a x C
2a
2a
1 ln a x C. 2a a x
例9 求 解
tanxdx.
tanxdx
sin cos
x x
dx
d cos x cos x
ln cos x C.
类似地可得 cotxdx ln sin x C.
例10 求
sin 2 xdx.
反函数 t 1(x) 代回去,这样换元积分公式可表示为:
f
(
x)dx
f
(
(t
))
(t
)dt
t
1
(
x)
上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边
的不定积分要存在，即被积函数
f ((t))(t) 有原函数；其次, x (t) 的反函数
t 1(x) 要存在.我们有下面的定理．
定理2 设函数 f (x) 连续, x (t) 单调、可导，并且
tan x 1 tan3 x C. 3
第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:
(1)
dx 1 d(ax b); a
(2)
x dx
1 dx1( 1
1);
(3) 1 dx d ln x;
x
(4) axdx 1 dax;
ln a
(5) sin xdx d cos x; (6) cos xdx dsin x;
dx
例20 求
. x2 2x 3
解
dx
1
d(x 1),
x2 2x 3 (x 1)2 ( 2)2
利用公式(18)，可得
x2
dx 2x
3
1 arctan x 1 C.
2
2
例21 解
dx
求
. 4x2 9
dx 4x2 9
1 2
d(2x) .
(2x)2 32
利用公式(21)，可得
a2 x2
解 令 x a tan t,t ( , ), 则 x2 a2 a sect, dx a sec2 tdt,
22
于是
1 dx
a2 x2
a sec2 tdt a sect
sectdt ln sect tan t C1
ln
x2 a2 a
x a
C1 ln
x2 a2 x C.
由此得 f xxdx f xd x
=dF x F x C.
于是有如下定理：
定理1 设 f (u ) 是具有原函数 F (u ), u x 可导，则
有换元公式
fxxຫໍສະໝຸດ dxf(u
)
d
u
u x
F ( u ) C ux .
（5-2）
由此可见，一般地，如果积分 g xdx 不能直接
ln sect tan t C1
ln x a
x2 a2 a
C1 ln x
x2 a2 C,
其中 C C1 ln a ,当 x (, a) 时,可令 x a sect,
t ( , ), 类似地可得到相同形式的结果． 以2上三例中所作的变换均利用了三角恒等式，称之为
三角代换，可将将被积函数中的无理因式化为三角函数 的有理因式．一般地，若被积函数中含有 a2 x2 时，可
其中 C C1 ln a.
例18 求
1 dx(a 0). x2 a2
解 被积函数的定义域为 (, a) (a, ) ,令
x
a
sec
t,t
(0,
2
)，这时
x2 a2 a tant, dx asect tantdt
故
1 x2
a2
dx
a sec t tan tdt a tan t
sectdt
解
sin
2
xdx
1
cos 2
2
xdx
1 2
x
1 4
cos
2xd(2x)
1 x 1 sin 2x C. 24
类似地可得
cos2 xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
C.
例11 求 csc xdx.
解
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin sin 2
x x
dx
d cos x cos2 x-1
1 ln 2
2
2
，
1 eu C 1 ex2 C.
2
2
凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在
比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤．