山西师范大学

现代文理学院（数计系）

毕业论文

论文题目：二次曲线方程的化简与应用

学生姓名： 刘彦雪

学 号： 1290110415

专 业： 数学与应用数学

班 级： 1204班

指导教师： 范青龙

二零一四年十一月四号

1 目 录

摘 要 ........................................................... 2

（一）、二次曲线的相关定义 ....................................... 2

（二）、平面直角坐标变换 ......................................... 3

2.1二次曲线方程的化简与分类..................................... 3

2.2 利用系数的影响规律化简方程 ............................................... 错误!未定义书签。

（三）、应用举例 .................................................................................................................... 7

（四）、结束语 ...................................................................................................................... 10

参考文献 ....................................................... 11

2 二次曲线方程的化简与应用

刘彦雪

摘要

二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是教学的一个难点，这方面的研究文献较多，分别总结出很多有效的方法。文献给出了通过对二次曲线方程配方变形、直角坐标变换对二次曲线方程进行分类、化简;然后根据直线与二次曲线相交时参数t的几何意义,确定二次曲线的标准方程.从而解决了利用坐标系的平移,旋转对二次曲线方程分类,化简时运算复杂或无法确定图形具体位置等问题.本论文首先对定义进行归纳总结，运用验证类比以及大量的举例对二次曲线化简作了说明，其次给出了一些方法和过程及证明，然后作出了归纳总结。

关键词 定义； 二次曲线； 平面直角坐标变换

（一）、相关定义

1.1.在平面上，由二元二次方程

22111222132333,2220Fxyaxaxyayaxaya 所表示的曲线,叫做二次曲线.

1.2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线;没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线;有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线.

1.3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标,这种变换称为坐标变换.

1.4 由曲线方程的系数给出的函数,如果在经过任意一个直角坐标变换后,

3 它的函数值不变,就称这个函数是该曲线的一个正交不变量,简称不变量.

1.5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径。

（二）、平面直角坐标变换

二次曲线F（x,y）=0经过仿射变换222111cybxaycybxax，02211baba的仿射

对应的图形仍为同类型的二次曲线，并且二次曲线的中心在仿射变换下还是

二次曲线的中心。

在平面直角坐标系中，利用坐标变换，是二次曲线的方程在新坐标系里具

有最简形式，然后进行二次分类。

2、1二次曲线方程的化简与分类

在一般情况下，由旧坐标系变为新坐标系需要分两步来完成，则二次曲线方程（*）在移轴公式为00yyyxxx,其中(,)xy表示平面内一点P的旧坐

标,(,)xy表示P点的新坐标, (,)xy表示新坐标系的原点在旧坐标系下的坐

标，则二次曲线方程(*)在转轴公式为''''cossinsincosxxyyxy,其中, 为坐标轴

的旋转角.

在转轴00yyyxxx下，二次曲线的新方程为F（00,yyxx）

0)(2)0(2)())((2)(02313022001201122ayyaxxayyayyxxaxxa

4 ，这里'''111112122222'1311012013100'2312022023200'3300,,(,)(,)(,)aaaaaaaaxayaFxyaaxayaFxyaFxy。因此，在转轴为00yyyxxx

下，

二次曲线方程系数的变化规律为：

1）二次项系数不变；

2）一次项系数变为),(22001'13yxFa,),(22002'23yxFa；

3) 常数项变为),(00'33yxFa

因为当（0,0yx）为二次曲线的中心时有，所以，当二次曲线有中心时，

做移轴，使原点与二次曲线的中心重合，那么在新坐标下二次曲线的新方程

中一次项消失。则，新方程为022332322121122ayayayxaxa，

这里

.33'332313'232313'1322212211'22121122'1222212211'11cossinsincoscos2sinsin2cos2sin)(21sin2sincosaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

因此，由此可知系数变化规律为：

1）二次项系数的变化仅与原方程的二次项系数和转角有关；

2）一次项系数的变化仅与原方程的一次项系数和转角有关，特别是，当原

方程无一次项时，转轴后也无一次项；

3）常数项不变.

2.2 利用系数的影响规律化简方程

5 当02I时，二次曲线*为中心二次曲线，其中心00(,)xy满足

230220122130120111),(),(ayaxayxFayaxayxFoooo

根据移轴对二次曲线方程系数的影响规律，若取00(,)xy为坐标原点，则二

次曲线方程可化简为：

02'332'22''122'11ayayxaxa

其中),(,00'332211'22'11yxFaaaaa

由此可知中心二次曲线的化简一般是先移轴后转轴.

当02I时，即（*）为非中心二次曲线,如果012a时，取转角满足

12221122cotaaa， 使得

0)sin(coscossin)(22121122'12aaaa

从而消去方程中的交叉项，由此可知非中心二次曲线的化简一般是先转轴后

移轴.

注意：利用坐标变化化简二次曲线的方程，如果曲线有中心，那么为了计算

方便，往往先移轴再转轴。

定理1：适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下列三个简化方程中的

一个:(I)0,0221133221122aaayaxa;

(II)0,02132213222aaxaya;

(III)0,02233222aaya.

证明：我们根据二次曲线是中心曲线，无心曲线，线心曲线三种情况来讨

论

6 （1）对于中心二次曲线,我们取它的一对既共轭又互相垂直的主直径作为

坐标轴建立直角坐标系，设二次曲线在这样坐标系下的方程是

22111222132333,2220Fxyaxaxyayaxaya

因为这时原点就是曲线的中心，根据定理的推论推知02313aa，其次，二

次曲线的两条主直径（即坐标轴）的方向为1:0与0:1，他们相互共轭，因

此有012a，所以曲线方程为（I)0,0221133221122aaayaxa

（2）对于无心二次曲线,取它的唯一主直径为x轴,而过顶点(即主直径与

曲线的交点)且与非渐近主方向为方向的直线(即过顶点垂直与主直径的直

线)为y轴建立坐标系.这时的曲线方程

22111222132333,2220Fxyaxaxyayaxaya，因为这时主直径的共轭

方向X:Y=0:1，所以主直径的方程为0232212ayaxa， 它就是x轴，即与直 线

y=0重合，所以有0,0222312aaa，又因为顶点与坐标原点重合，所以（0,0）

满足曲线方程，从而又有033a，其次由于二次曲线是无心曲线，所以

231322121211aaaaaa而,0,02212aa所以有0,01311aa，因而曲线方程为

（II）0,02132213222aaxaya

（3）当已知为线心二次曲线,我们取它的中心直线(即曲线的唯一直径也是

主直径)为x轴,任意垂直它的直线为y轴建立坐标

系.22111222132333,2220Fxyaxaxyayaxaya,因为线心二次曲线的

方程是方程00232212131211ayaxaayaxa与中的任何一个，第二个方程表示

x轴的条件为0,0222312aaa，而第一个方程在012a的条件下，不可能再表示

x轴，所以它必然是恒等式，因而有01311aa所以线心二次曲线的方程为