x1 x2 X= . =[x1,x2…x3] T : xn
(7-1)
式(7-1)的意义在于表示了“设计空间”的概念，即以n个设计变量 为坐标轴组成的实空间。这个设计空间成为n纬欧氏空间，用Rn表 示。
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当n=２，如例7-2中悬臂梁，则有： x1 d X= = x2 l 此时，设计空间是以x1，x2为坐标轴的平面，平面上任一点的 坐标对应着一个二维设计变量。 X=[x1x2]T代表了一个设计方案。 当n=3时，例如7-1中贮料箱，由三个设计变量组成一个３维设计空 间，空间内任一点的坐标对应着一个三维设计变量X=[x1x2x3]T。同 样，向量X代表了一个设计方案。 依此类推，当n>3时，其n个设计变量x1,x2,…xn组成的空间成为超 越空间。 设计空间是所有设计方案的集合，表示为： XRn
(7-2）
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7-4
２.目标函数
优化设计是要在多种因素下寻求使人最满意、最 适宜的一组参数。这里的“最满意”是针对某一特定 目标而言的。根据特定目标建立起来的、以设计变量 为自变量的、一个可计算的函数称为目标函数，它是 设计方案评价的标准。 优化设计的过程实际上是寻求目标函数最小值或 最大值的过程。因为求目标函数的最大值可转换为求 负的最小值，故目标函数统一描述为： minF (X)=F (x1,x2,…xn) （7-3）
2001年6月1日
7-9
(2)性能约束 又称性态约束，是由某种设计性能或指标推导出来的一种约 束条件。属于这类设计约束的如零件的工作应力、应变的限制； 对震动频率、震幅的限制；对传动效率、温升、噪声、输出扭矩 波动最大值等的限制；对运动学参数如位移、速度、转速、加速 度的限制等。这类约束条件，一般可以根据设计规范中的设计公 式或通过物理学和力学的基本分析导出的约束函数来表示。如例 7-2中，悬臂梁设计弯曲强度条件Pl/(0.1d3 )<=[б ]，扭转强度条件 M/(0.2d³ )<=[τ ] ，刚度条件Pl3 /(3EJ)<=[ƒ]。已知 [б ] = 100N/mm2 ,[τ ] =75/Nmm2 ,[ƒ]=0.1mm,E=7.03*104 N/mm², 可导出性能约束条件为： g5 (X) =g5 (d, l) = (d3/l) -1000>=0 g6 (X) =g6 (d, l) = d3 -6666.6>=0 g7(X) =g7 (d, l) = (d4/l3) –9.65>=0
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F(x1)
a）
图 7.2 目标函数与设计变量之间的关系及等值线 a)曲线 b)曲面
b）
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7-7
3 .约束条件
在实际问题中，设计变量不能任意选择，必须满足某些 规定的功能和其它要求。为产生一个可接受的设计而对设计 变量取值施加的种种限制称为约束条件。约束条件一般表示 为设计变量的不等式约束和等式约束函数形式： g i(X)= g i (x1,x2,…xn)>=0 或 g i(X)= g i (x1,x2,…xn)<=0 (i=1,2,…m) （7-4） h j(X)=h j(x1,x2,…xn)=0 (j=1,2,…,p<n)
和等式约束条件数目。 式中m，p分别表示施加与该项设计的不等式约束条件数目
20能约束两种。 （１）边界约束 又称区域约束，表示设计变量的物理限制和取值范围。如例71中贮料箱设计，可得边界约束条件为： g1 (x) = g1 (l, w, h) = w-1.6>=0 g2 (x) = g2 (l, w, h) = l>0 g3(x) = g3 (l w, h) = h>0 再如例7-2中悬臂梁设计，可得边界约束条件为： g1 (x) = g1 (d, l) = d-20>=0 g2 (x) = g2 (d, l) = 100-d>=0 g3 (x) = g3 (d, l) = l-50>=0 g4 (x) = g4 (d, l) = 150-l>=0
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7-1
例7-2 设计一圆形截面悬臂梁（见图7.1）。该悬臂梁自由端作用 有集中载荷P=10000N；扭矩M=10N.m；悬臂伸出长度的允许取 值范围为50mm ≤ L ≤ 150mm,直径的允许取值范围为20mm ≤ d ≤ 100mm。要求在满足强度、刚度条件下，体积最小。其设计变 量是棒料直径d和悬臂长度 L 。
2001年6月1日
7-5
目标函数与设计变量之间的关系可以用几何图形 形象地表示出来。例如，单变量时，目标函数是二维 平面上的一条曲线（图7.2a）；双变量时，目标函数是 三维空间的一个曲面（图7.2b）。曲面上具有相同目标 函数值的点构成了曲线，该曲线称为等值线（或等高 线）。如 图7.2b所示，在等值线a上的所有点，其目标 函数值均为１５，在等值线c上的各点（设计点），目 标函数值均为２５等等。将其投影到设计空间是一族 近似的共心椭圆，他们共同的中心点就是最优点（图 7.2b 中的Ｐ点）。因此形象地说，优化设计就是近似 地求出这些共心椭圆的中心。若有n个设计变量时，目 标函数是n+1维空间中的超曲面，难于用平面图形表示。 例7-1中贮料箱优化设计的目标函数可表示为： minF(X) F(X)=F(l,w,h)=2 ( l h+w h)+l w (X=[l,w,h]T）
P
d
M
L
图7.1 悬臂梁
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机械设计常用的设计变量有：几何外形尺寸（如长、宽、高、 厚等）；材料性质；速度、加速度、效率、温度等。机械优化设 计时，作为设计变量的基本参数，一般是一些相互独立的参数， 它们的取值都是实数。根据设计要求，大多数设计变量被认为是 有界连续变量，称为连续量。但在一些情况下，有的设计变量取 值是跳跃式的量，例如齿轮的齿数、模数，丝杠的直径和螺距等， 凡属这种跳跃式的量称为离散量。对于离散变量，在优化设计过 常常把它视为连续量，在求得一个是实用的最优方案。 一项设计，若有n个设计变量x1,x2,…xn，可以按一定次序排 列，用n维列向量来表示，即：
§7.1
基本概念和术语
优化设计要解决的关键问题：一是建立设计数学模型，即优化设计 问题的目标函数、约束条件和设计变量；二是选择适用的优化方法。 1 .设计变量 设计中，可以用一组对设计性能指标有影响的基本参数来表示某 个设计方案。设计问题的性质不同，则表示该设计的参数也不同。 对一项具体的机械设计来说，有些基本参数可以根据工艺、安装和 使用要求预先确定，而另一些则需要在设计过程中进行选择。那些 需要在设计过程中进行选择的基本参数被称为设计变量。 例7-1: 设计一开口矩形贮料箱，容积为2.4m³ ，宽度不小于1.6m， 要求用料最省。显然，这项简单设计的设计变量是矩形贮料箱的长l、 宽 w 、高 h 。