大一高等数学期末考试试卷

一、选择题（共12分）

1. （3分）若为连续函数,则的值为( ).2,0,

()

,0x

ex

fx

axx









a

(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1

2. （3分）已知则

的值为（ ）.(3)2,f



0(3)(3)

lim

2hfhf

h



(A)1 (B)3 (C)-1 (D)1

2

3. （3分）定积分的值为（

）.2

2

21cosxdx





(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若在处不连续,则在该点处( ).()fx

0xx()fx

(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限

二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为的曲线方(0,1)(,)xy2

3x程为 .

2. （3分） .1

24

1(sin)xxxdx



3. （3分） = .2

01

limsin

xxx



4. （3分） 的极大值为 .32

23yxx

三、计算题（共42分）

1.（6分）求

2

0ln(15)

lim.

sin3

xxx

x



2.

（6分）设求

2,

1x

e

y

x

.y

3.（6分）求不定积分2

ln(1).xxdx

4.（6分）求其中3

0(1),fxdx,1,

()1cos

1,1.xx

x

fxx

ex













5.（6分）设函数由方程所确定,求()yfx

00cos0yx

t

edttdt

.dy

6.（6分）设求2

()sin,fxdxxC

(23).fxdx

7.（6

分）求极限3

lim1.

2n

nn









四、解答题（共28分）

1.（7分）设且求(ln)1,fxx

(0)1,f().fx

2.（7分）求由曲线与轴所围成图形绕着

轴旋转一cos

22yxx







xx

周所得旋转体的体积.

3.（7分）求曲线在拐点处的切线方程.32

32419yxxx

4.（7分）求函数

在上的最小值和最大值.1yxx[5,1]

五、证明题(6分)

设在区间上连续,证明()fx

[,]ab

1

()[()()]()()().

22bb

aaba

fxdxfafbxaxbfxdx





标准答案

一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.

二、 1 2 3 0; 4

0.3

1;yx2

;

3

三、

1 解 原式 5分

2

05

lim

3

xxx

x



1分5

3

2解

2

分2

2lnlnln(1),

12x

ex

yx

x



4

分

2212

[]

121x

ex

y

x

x





3 解 原式 3

分221

ln(1)(1)

2xdx



2

分222

212

[(1)ln(1)(1)]

21x

xxxdx

x



1

分2221

[(1)ln(1)]

2xxxC

4 解 令则 2分1,xt

1分32

01()()fxdxftdt



1

分12

11(1)

1costt

dtedt

t





1分2

10[]t

et

1分2

1ee

5两边求导得 2分cos0,y

eyx



1

分cos

yx

y

e



1

分cos

sin1x

x



2

分cos

sin1x

dydx

x



6解 2分

1

(23)(23)(22)

2fxdxfxdx



4

分21

sin(23)

2xC

7解 原式= 4

分23

323

lim1

2n

nn









= 2

分3

2e

四、1 解 令则 3分ln,xt,()1,tt

xefte



= 2分()(1)t

ftedt

.t

teC

2分(0)1,0,fC

1分().x

fxxe

2解 3分

2

2

2cos

xVxdx





2

分2

2

02cosxdx





2

分2

.

2



3解 1分2

3624,66,yxxyx



令得 1分0,y

1.x

当时, 当时, 2分1x0;y

1x0,y



为拐点, 1分(1,3)

该点处的切线为 2分321(1).yx

4解 2

分1211

1,

2121x

y

xx







令得 1分0,y

3

.

4x

2

分35

(5)56,2.55,,(1)1,

44yyy







最小值为最大值为 2分

(5)56,y

35

.

44y







五、证明

1分()()()()()()bb

aaxaxbfxxaxbdfx



1

分[()()()]()[2()b

b

a

axaxbfxfxxabdx





1分[2()()b

axabdfx

 1分 

[2()]()2()bb

aaxabfxfxdx



1分()[()()]2(),b

abafafbfxdx



移项即得所证. 1分