当前位置:文档之家› 数学在经济生活中的应用

数学在经济生活中的应用

数学在经济生活中的应用
数学在经济生活中的应用
例1
设:生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为C(0)=1000元,产品单价
规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大?并
求最大利润

解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x 2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L’=400-2x,令L’=0,得x=200,因为
L’’(200)<0。所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为
L(200)=400×200-2002-1000=390009(元)

例2
某企业每月生产Q(吨)产品的总成本C(千元)就是产量Q的函数,C(Q)=Q
2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的
边际利润。
解:每月生产Q吨产品的总收入函数为:
R(Q)=20Q
L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-1Q+20)
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10(千元/吨);
L’(15)=-2×15+30=0(千元/吨);
L’(20)=-2×20+30=-10(千元/吨);
以上结果表明:当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元;当月产
量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再增产1吨,利
润反而减少1万元。
例3
设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数p=60-Q1000(Q为
销售量),假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大?最大利润就是多少?
解:产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000时L最大,L(2000)=340000元
所以生产20000个产品时利润最大,最大利润为340000元。
数学在经济生活中的应用
例4
X银行提供每年支付一次,复利为年利率8%的银行帐户,Y银行提供每年支付四次,复利
为年利率8%的帐户,它们之间有何差异呢?
解 两种情况中8%都就是年利率,一年支付一次,复利8%表示在每年末都要加上当前余
额的8%,这相当于当前余额乘以1、08、如果存入100元,则余额A为
一年后:A=100(1、08), 两年后:A=100(1、08)2,…,t年后:A=100(1、08)t、
而一年支付四次,复利8%表示每年要加四次(即每三个月一次)利息,每次要加上当前余
额的8%/4=2%。因此,如果同样存入100元,则在年末,已计入四次复利,该帐户将拥有100(1、
02)4元,所以余额B为
一年后:B=100(1、02)4,二年后:B=(1、02)4×2,…,t年后:B=(1、02)4t。
注意这里的8%不就是每三个月的利率,年利率被分为四个2%的支付额,在上面两种复利
方式下,计算一年后的总余额显示
一年一次复利:A=100(1、08)=108、00,一年四次复利:B=100(1、02)4=108、24、因此,随
着年份的延续,由于利息赚利息,每年四次复利可赚更多的钱、所以,付复利的次数越频繁可赚
取的钱越多(尽管差别不就是很大)、

例5

您买的彩票中奖1百万,您要在两种兑奖方式中进行选择,一种为分四年每年支
付250000元的支付方式,从现在开始支付;另一种为一次支付总额920000元的一
次付清方式,也就就是现在支付,假设银行利率为6%,以连续复利方式计息,又假
设不交税,那么您选择哪种兑奖方式?

解:我们选择时考虑的就是要使现在价值(即现值)最大,那么设分四年每年支付
250000元的支付方式的现总值为P,

P=250000=250000e06.0 +250000e206.0x +250000e306.0x =250000+235411+221730+
208818=915989<920000

因此,最好就是选择现在一次付清920000元这种兑奖方式
例6:
设银行存款现值P与将来值B,年利率为r.则t年后的本利与即将来值
B=(1+r)t
数学在经济生活中的应用
若一年分n次计算复利,则每期利率为三,一年后的本利与即将来值为
B=P(1+nr)n

而t年后的本利与即将来值为 B=P(1+nr)tn
当∞→n时,则t年后的本利与即将来值为 B=lim(x->∞)P(1+nr)tn=pet
从而现值p与将来值B之间的关系为 B= pet
现值P为1,利息r为100%,t=1,则得 B= e
例7:某种产品的总成本C(万元)与产量q(万件)之间的函数关系式(即总成本函数)为
C=C(q)=100+4q-0、2q2+0、01q3
求生产水平为q=10(万件)时的平均成本与边际成本,并从降低成本角度瞧,继续提高产量就是
否合适?
解: 当q=10时的总成本为
C(10)=100+4×10-0、2×102+0、01×103=130(万元)
所以平均成本(单位成本)为C(10)÷10=130÷10=13(元/件)
边际成本MC=C′(q)=4-0、4q+0、03q2
MC│q=10=4-0、4×10+0、03×102=3(元/件)
因此在生产水平为10万件时,每增加一个产品总成本增加3元,远低于当前的单位成本,从降
低成本角度瞧,应该继续提高产量。
例8:
某公司总利润L(万元)与日产量q(吨)之间的函数关系式(即利润函数)为1500、
005q-2qL(q)L2−==。试求每天生产150吨,200吨,350吨时的边际利润,并说明经济含义。
解:边际利润 ML=L(q)=2-0、01q

q
ML
=2-0、01×150=0、5

q
ML
=2-0、01 ×200=0

q
ML
=2-0、01×350=-1、5

从上面的结果表明,当日产量在150吨时,每天增加1吨产量可增加总利润0、5万元;当日产
量在200吨时,再增加产量,总利润已经不会增加;而当日产量在350吨时,每天产量再增加1
吨反而使总利润减少1、5万元,由此可见,该公司应该把日产量定在200吨,此时的总利润最
大为:L=2×200-0、005 ×200²-150=50(万元)
从上例可以发现,公司获利最大的时候,边际利润为零。

例9
数学在经济生活中的应用
设供给函数Q=f(P)= -12+4P+2P2,求当P=3 时的供给价格弹性。解由于供给价格弹性
解ES=P· f ′(P) =P4=2p/-12+4p+p ²所以当P=3 时ES= 310
由上可知供给函数在点P 的供给价格弹性的经济意义就是在价格为P 时如果价格提
高或降低1供给由Q起增加或减少的百分数。供给价格弹性反映了当价格变动时供给
量变动对价格变动的灵敏程度、
例10
设某商品的需求函数为Q=e-p5,求(1)需求弹性函数;(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解:(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5、pe-p5=p5;
(2)η(3)=35=0、6;η(5)=55=1;η(6)=65=1、2 η(3)=0、6<1,说明当P=3时,价格上涨1%,需
求只减少0、6%,需求变动的幅度小于价格变动的幅度。η(5)=1,说明当P=5时,价格上涨1%,
需求也减少1%,价格与需求变动的幅度相同。

相关主题