路面不平度数学模型
目录
1. 功率谱分析模型
1. 1.1 三角级数法
2. 1.2 过滤泊松模型
3. 1.3 线性滤波白噪声法
4. 1.4 域功率谱采样的数值模拟方法
2. 时间序列分析模型
1. 2.1 ARMA模型
2. 2.2 AR模型
3. 小波分析模型
4. 分形分析模型
总结和研究展望
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1. 功率谱分析模型
1. 1.1 三角级数法
2. 1.2 过滤泊松模型
3. 1.3 线性滤波白噪声法
4. 1.4 域功率谱采样的数值模拟方法
2. 时间序列分析模型
1. 2.1 ARMA模型
2. 2.2 AR模型
3. 小波分析模型
4. 分形分析模型
总结和研究展望
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1. 功率谱分析模型
由于信号处理领域中功率谱理论的研究已经非常成熟，因此在道路不平度
模型中，功率谱分析模型也就是最早进行研究的了。对于不同等级的路面，
主要区别表现在粗糙度的不同。通常我们采用谱密度函数来表达不同粗糙
度的路面，以给出车辆系统的输入激励。对于路面不平度的研究，各国学
者提出了不同形式的功率谱密度表达式模型。
1.1 三角级数法
理论上讲，任意一条路面轨迹均可由一系列离散的正弦波叠加而成。假如
已知路面频域模型，那么每个正弦波的振幅可由相应频率的频率谱密度获
得，相位差由随机数发生器产生。从理论上讲，任意一条路面轨迹均可由
一系列离散的正弦波叠加而成。假如已知路面频域模型，那么每个正弦波
的振幅可由相应频率的频率谱密度获得，相位差由随机数发生器产生。三
角级数法尤其适用于实测道路谱的时域模拟，该算法数学基础严密，使用
路面范围广。这对于在非标道路和非等级公路上行驶汽车的平顺性研究具
有重要意义，但此模型涉及大量三角函数运算，计算很费时。一般采用FFT
算法提高其计算效率。
1.2 过滤泊松模型
该模型在频率大于一定值后。能较好地逼近目标谱密度，在频率为零附近
效果较差。它的最大缺点是参数的求取缺乏严密的算法，需要试凑，因此
很不方便。
1.3 线性滤波白噪声法
基于线性滤波的白噪声激励模拟是目前较普遍的方法。基本思想是将路面
高程的随机波动抽象为满足一定条件的白噪声，然后经一假设系统进行适
当变换而拟合出路面随机不平度的时域模型。线性滤波法具有计算量小、
速度快的优点，但算法繁琐、模拟精度差。
1.4 域功率谱采样的数值模拟方法
利用对已知功率谱进行采样的数值模拟方法对公路路面的功率谱密度进行
研究。获得了分布在一定频率范围内的离散功率谱密度数据。通计算、分
析获得路面不平度的离散傅立叶变换，对离散傅立叶变换的数据按照一定
规则补齐后再进行傅立叶逆变换，进而得到路面不平度值。
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2. 时间序列分析模型
时间序列分析是统计学科的一个重要分支内容。在信号处理、经济管理、
市场价格预测等方面得到了广泛应用。在实际路面测量中，只能测到路面
不平度的有限数据，利用时间序列分析的主要任务就是根据观测数据的特
点为数据建立尽可能合理的统计模型，然后利用模型的统计特性去解释数
据的统计规律，以达到控制或预报的目的。在时间序列分析中，有两类简
单而又常用的模型：AR( 自回归) 模型和ARMA模型。
2.1 ARMA模型
从总体精度来看，ARMA模型优于AR模型，它能够很好的逼近目标谱。在阶
次很低时，ARMA模型在低频段效果较差，阶次增加后,在整个模拟范围内都
达到极好的效果。ARMA模型阶次的选择应综合考虑运算量，总体模拟精度
两个因素来确定，但对于ARMA模型的最优阶次的选取尚无成熟理论，需要
进一步的研究。
2.2 AR模型
用时间序列分析的方法对路面的实际测量值进行分析计算建立一个自回归
(AR)模型，并以此为基础进行路面的模拟，自相关函数以及谱密度分析。
与AR模型相对应的功率谱是连续谱，分辨率可以无限提高。可以很好的解
决以采用FFT为基础的功率谱分析时产生的数据泄漏。还可利用AR模型对
二维路面进行模拟，其方法是一维模型的直接推广，经过仿真证明了该模
型的可行性。
基于快速Fourier 变换技术的AR (Auto －Regressive) 模型和ARMA
(Auto－Regressive and Moving Average)模型对于路面谱的拟合具有较好
的效果。该方法70年代开始用于随机过程的模拟，并在80年代得到了较
系统的发展，它是一种比谐波叠加法更有效的数字模拟方法，而且数字信
号处理理论为它提供了严密的数学基础。但是在实际的计算中，AR模型和
ARMA模型并不能保证生成的随机路面是绝对稳定的。要达到稳定需满足其
路面不平度的拟合方程的系数特征方程的全部复数根都位于单位圆内的条
件。这在车辆行驶的实际过程中难以保证，这就使得AR模型和ARMA 模型
在路面模拟的应用中受到限制。
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3. 小波分析模型
前面讨论到的路面不平度模型都是基于FFT的统计分析，由于Fourier分
析使用的是一种全局变换，不能获得信号的局部特征; 而且对于非平稳信
号的分析。要么完全在时域，要么完全在频域无法表述信号的时频局域性
质。小波变换是一种时频分析方法。其基本原理是以小波函数(t-b/a)为基
函数。
对车辆的振动响应与路面不平度的关系进行分析，结果表明将小波变换引
入路面激励和汽车振动响应分析中，可以清楚地了解信号的时频特性，识
别车辆振动响应与路面不平度的关系，从而可以通过路面特性分析车辆平
顺性能或由振动响应推断路面激励。
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4. 分形分析模型
近十几年来，分形理论已在表面不平度的研究领域获得成功的应用。从一
般意义上说，分形维数是用来衡量一个几何集或自然物体不规则程度的数，
分维值D越高反映的道路表面越平坦。在计算出分维值后，可以利用W2M
函数、布朗函数、中点位移随机算法等方法来模拟路面不平度，作为汽车
平顺性研究的输入激励。分形测量属于对测度的相似性测量，是一种相对
性的描述参数，它无法唯一表达道路表面不平程度，也就是说分形维数与
功率谱不存在对应关系。将分形维数与尺度系数联系起来可提出表观分形
维数，表观分形维数结合分形维数的相似测量和尺度系数的绝对测量。其
表观分形维数数值越大,道路表面不平度越大。
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总结和研究展望
1.分形和小波理论还在不断的发展和完善，其各个分支都发展很快。因此，
应该密切关注这些新动向，以使分形和小波理论在路面不平度的研究中得
到深入的应用。
2.虽然现在已经使用了分形和小波理论对路面不平度进行分析，但都处于
初级阶段，对于这两种理论在对路面不平度特性的描述以及使用方法还有
待进一步的研究。例如，利用分形维数描述路面的二维特性，寻找分维数
与土壤本构之间的关系等。
3.率谱密度与路面高程并非一对一的映射，因此从频域模型所得的道路高
度的时程函数只能看成是满足给定路面谱的全部可能的路面高程中的一个
样本函数，为从已知的路面谱获得路面激励时域模型——随机路面高程，
通用的方法是将路面高程定性为平稳的Gaussian 随机过程。因此对于平稳
Gaussian 随机过程的数值模拟，各种路谱(包括标准的和实测的，确定性
的和随机的)建模、模型建库及封装、道路激励的可视化、以及与汽车虚拟
仿真系统的链接等都是有待深入研究的内容。