§4.4各向同性弹性体
学习思路：
各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。
该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任意变换方位也无关。
根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。
各向同性材料的本构关系可以通过拉梅（Lam© ）弹性常数4表示；也可以通过工程弹性常数E, n, G表示。
各弹性常数可由实验的方法测定。
学习要点：
1.各向同性弹性体；
2.各向同性弹性体的应力和应变关系；
3.应变表示的本构关系；
4.弹性常数与应力表示的本构关系。
各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相同。
这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。
本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应力和应变关系。
对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关, 任意一个平面都是弹性对称面。
因此
C l1=C 22=C33, C l2=C23=C 31, C44=C 55=C 66
于是其应力应变关系简化为
其独立的弹性常数仅为C l1，C12和C44
但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任
意变换方位也无关。
为了简化分析，将坐标系沿z轴旋转任一角度「。
新旧坐标系之间的关系如下所示：
根据应力分量转轴公式，可得
=^（＜r? -cyjsin2^ + ^ cos2^
根据应变分量转轴公式
5* 二（亏「耳）晶2卩+ cos2^
将以上两式代入应力应变关系公式的第四式」L 11 ^ ■■,则
cos2p = q斗[（為-^）sin2^+ cos2^] 因为住厂G馮，所以= 孔）。
根据应力应变表达式，可得J- " H -1一丄"： '1O
比较上述两个公式，可得，2C44 = C l1-C l2o所以各向同性弹性体的弹性常数只有两个。
其应力和应变关系为
二込+ q店二c詔4©-気比二c吃® + + Ci?码=G卫+（c tl-
=気耳 + q迅+ C n% = CJ+ （C n- 各
专©-务）打
弓G】-尙）八
其中, 总=耳十勺十寻
为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令
匕12=兄，—
^13
=
2 产
则同性材料的本构关系公式可以简化为
二久召+ 2“弓，» %
或写作张量表达式
上述公式即为各向同性弹性材料的广义胡克（Hooke ）定理，人，4称为 拉梅（Lam e ）
弹性常数。
如果将坐标轴选取的与弹性体内某点的应力主方向重合，则对应的切应 力分量
均应为零。
根据各向同性材料的本构关系的后三式可见， 此时所有的切应 变分量也为零。
根据上述分析，对于各向同性弹性体内的任一点，
应力主方向和应变主
方向是一致的。
因此这三个坐标轴，即应力主轴同时又是应变主轴方向，对于 各向同性
弹性体，应力主方向和应变主方向二者是重合的。
设体积应力为;
”
J
‘
1
,将拉梅公式的前三式相加，可得
® = （3Z + 2^
上式称为体积应变的胡克定理。
如果各向同性材料的本构关系用应力表示，一般用工程弹性常数 有
S 二*［込,-心’ + 耳）］二*［（1 + 卩）碍-v&\
iL
1L
£［碍-心+碍）］二秒［Q +叽-呵
也
也
这里E 为弹性模量，又称为 杨氏模量；G 为切变弹性模量；v 为横向变 形系数，简
称泊松比。
E ，-, G 表示胡克定律,
心J 込）］VlQ+叽一嗣］
G
工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为，
/z(32 + 2/1) 2 …
E = —------------------ f v -------------- ------------------ , G-u
A + /J2(Z + 门)
由于各向同性弹性体仅有两个独立的弹性常数，因此
2(1 + v)
各个弹性常数可由实验的方法测定，通常应用材料的单向拉伸实验可以测出弹性模量
E，利用薄壁管的扭转实验可以测定剪切弹性模量G。
其余的弹性常数可以通过上述公式计
算得到。
4.5各向同性弹性体的应变能
学习思路：
本节介绍各向同性材料的应变能函数表达形式。
如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。
将本构关系表达式代入应变能函数公式，则
可以写出应变分量或者应力分量表达的应变能函数。
由于泊松比恒小于1所以应变能函数是恒大于零的。
这就是说，单位体积的应变能总是正的。
学习要点：
1.各向同性弹性体应变能。
弹性体单位体积的应变能的表达式已经作过讨论。
如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。
根据应变能函数表达式，
% =扌9店2启+ 咲十£办+ + 口入)
对于各向同性弹性体，可以使用应力分量或应变分量表达单位体积的应
变能
6=
屈+
2卩耳,『紳=“打
bj 二兄0 + 2"弓，%
将本构关系表达式「—代入上式，则可以
写作应变分量表达的应变能函数
5 =亍（2 + 2#）（左/ + 弓2 4- £「）+#（£”£』+
氐卉+ 玉占）+ 彳&: + 厂；+卩7）
乙二音［耳-“（弓十碍）］二2心3）6 -v&］
碍=云［巧一也十碍）】=云【Q *讨）弓~v&\
s 二 m耳-二+［（13）碍-v&］
达的应变能函数
% =詁厂+ff/ +* -2巩M + 弓丐十
£FQ H2Q2)(2■: +<+rt)
由于「恒小于1，所以，根据应变能函数表达式可知Uo恒大于零。
这就是说，单位体
积的应变能总是正的。
或者利用本构方程，写作应力分量表
G。