1 《高等数学》课程教学改革情况
《高等数学》课程作为非数学专业数学基础课程,历来受到重视,并由理工科向文科不断推进。我校己在理工科专业物理、化学、计算机、生物、生化、信管和文科专业:工商管理、行政管理、旅游管理等开设《高等数学》课程。
1、基本情况
从1999年来,我们承担和主持校级以上《高等数学》教学研究课题3项:《师专物理、化学专业高等数学课程教学内容和体系的研究与实践》(陕西省教育厅教学研究项目984037)、《大学数学课程改革研究》(安康师专系部重点研究项目2003AZXZ001)和《数学实验与高等数学教学》(安康师专科研项目2004AZX003);获得市级以上学会组织奖励4项:《师专物理、化学专业高等数学课程建设的调查分析》(2003年全国高等师范专科教学研究会优秀论文二等奖)、《高等数学极限理论教学改革的研究与实践》(2004年陕西省教育学会优秀论文一等奖)、《利用Dirichlt函数描述连续和导数概念的局部性》和《一致连续函数的判断》(2004年安康市第七次自然科学优秀论文一等奖和二等奖)。21世纪以来,出版高等数学教学用书两
部:《高等教学》(上、下册)(杨开春、张富林、赵临龙,陕西人民出版社,2003.7)教材一部和《高等数学自学必读》(谢克藻、张少华,西安地图出版社,2004.1)教学参考书一部,并出版高等教学辅助教学参考书《常微分方程研究新论》(赵临龙,西安地图出版社,2000.1)和《数学模型方法及应用》(熊启才、曹吉利、张东生、赵临龙,重庆大学出版社,2003.7)两部;发表教学与科研论文15篇(见参考文献),其中被《EI》收录论文1篇。
2、教学改革
2.1理论研究。《高等数学》课程作为一门传统课程,其理论体系基本达到完善的程度,但它不等于没有研究的问题。当前教学改革的核心问题,还是针对大学扩招后的学生,提供一套切实可行的教材,这就要求对传统的《高等数学》教材从理 2 论上作适当处理,自然需要我们对某些理论作进一步讨论,以形成反映现代科技最新成果的教材。
我们在《高等数学》理论研究中,取得以下主要结果:
(1)在函数概念中,给出分段函数的统一表达式。
结论:对于分段函数
f(x)=12()()()()fxxafxxa
若初等数函f1(x)和f2(x)满足f1(a)= f2(a),则
f(x)= f1[12(x+a-2()xa)]+ f1[12(x+a+2()xa)]- f1(a)
(2)在极限理论中,给出两个重要极限的简化证明。
Ⅰ 极限0limx[sinx/x] =1
该极限的证明,关键是证不等式:sinx 如图.设单位圆⊙O的渐开线为 .若记∠TOA=x,并过T作TH ⊥X轴于H,TBC切⊙O且交 A C X 及X轴分别于B、C,则 Sinx =TH 我们说这个证明不仅是一个创造性的,更主要它避免了传统证法中的“循环论证”. 因扇形面积OAT=12x的求得,一般是n等分∠AOT成n个等腰△AiOAi-1(i=1.2,…,n,A=A0,T=An),则 ∑△AiOAi-1=∑12Sin(x/n)=12n Sin(x/n) 此时,扇形面积OAT=limn∑△AiOAi-1=∑12Sin(x/n)=12x limn[Sin(x/n)/(x/n)] 显然当limn[Sin(x/n)/(x/n)]=1时,扇形面积OAT=12x,但令t= x / n,则该极限为要证明的重要极限I,即出现循环论证。 O H Y T B 3 Ⅱ 极限limn(1+1/n)n = e 设An=(1+1/n)n,利用算术和几何不等式关系,得: An=(1+1/n)(1+1/n)……(1+1/n)・1≦[(n(1+1/n)+1)/(n+1)] n+1 即数列{An}单增。 另外,设Bn=n/(n+1) ,利用算术和几何不等式关系,得: Bn=1- 1/(n+1)>1- 1/n=[(2・(1/2)+(n-2))/n] [(1/2)2・1n-2]=(1/4)1/n 则 4 [(n+1)/ n]= (1+1/n)n 即数列{An}有上界。 于是,极限Ⅱ存在,并记为数e。 (3)在函数连续中,给出一致连续函数的充要条件。 结论:函数f(x)在区间I上一致收敛的充要条件是对区间I上任意两个数到{xn} 与{yn},当limn(xn-yn)=0时,则limn(f(xn)- f(yn))=0。 (4)在微积分中,给出牛顿——菜布尼兹积分公式的推广形式。 结论:设在[a,b]上f(x)可积,F(X)连续且在(a,b)内除有限个点外均有 F′(X)= f(x),则 ab f(x)dx = F(a)- F(b) (5)在微分方程中,给出二阶线性微分方程不变量解法。 结论: 对于方程 y〞+p(x)y′+q(x)y=f(x),若存在函数(x)满足I=p′(x)+2 p(x)- 4 q(x)=′(x)+2 2(x),则有方程z〞+(x)z′+ = f(x) e1/2∫(- p)dx,其中y=z(x)e1/2∫(p-)dx。 此结果将二了f(x)的形式。因此,它自然被《EI》收录。 2.2教材建设.1999-2001年我们在承担陕西省教育厅《高等数学课程体系改革研究与实践》教学项目中,通过调查研究于2001年8月,编写出试用教材《高等数学》 4 (内部印刷),经过2年的实践与修订,于2003年7月由陕西人民出版社正式正版《高校21世纪师范类规划教材——高等数学》(上、下册)。该教材按照国家教育部关于课程和教材改革要适应于社会发展、要服务于经济建设和有利于培养人才要求,突出现代理论成果和应用现代科学技术手段,在理论与实际的联系中,强调理论的应用,同时在高等数学知识传授中,注意渗透数学的思想和方法。 (1)适应时代要求。教材是联系师生的桥梁,我们在《高等数学》教材编写时,遵循“少而精,广而浅”的原则,略去一些较为繁琐的完理证明和冗长的理论推导,在内容安排上,按照“量力性”和“循序渐近”要求,概念引入,力求朴实、简明和自然,尽可能由读者身边的情境化问题引入;理论学习,尽可能做到严谨,但强调理论证明与直观说明并重,核心是突出数学的思想和方法;实践应用,强调数学建模的作用,并结合用计算机处理问题。 (2)强调数学的功能。《高等数学》历来以突出“工具性”为主要任务,但它所包含的“思维能力”以及“数学文化”功能,对现代人来说,也是非常重要的内容。不过应根据专业的不同要求有所侧重而不能按统一要求,对全体学生进行相同能力的培养。如对理工科学生,就应以突出工具性为前提,进行思维能力和数学文化教育;而对文科学生就应以思维能力和文化教育为主线,适度地强调高等数学的工具性。我们在《高等数学》教材编写中,在每章知识结构后面,增加“理论应用”单元,以展示高等数学中,一些具有代表的思想方法的优美之处,增强人们用数学的意识。 (3)突出数学建模,今日的数学己发展为一门普通性的“技术”,在解决人类重大问题中发挥重要作用。这正是数学建模的作用所在,尤其随计算机的普及,使得数学建模更加容易实现,而且国家每年的大学生数学建模竞赛,为数学建模的训练提供了良好的环境。因此,我们在《高等数学》教材编写中,在每章知识结构后面,还增加“数学模型举例”单元,以展示数学建模的作用,提高人们用数学解决实际问题的能力。 5 2.3学生创新能力培养。素质教育的时代要求,必须将传授知识,培养能力,提高素质融为一体,把培养创新人才作为教育的重要任务。 (1)倡导研究性的学习方法。数学的学习,必须要求学生动手,动脑,因此在大学生的《高等数学》学习中,我们要求他们将自己作为一名研究者,对各种问题开展讨论,从中提高学生的创新能力。如学生李友海在学习有关三角函数的积分时,利用对称性理论给出某些三角函数积分的简单解法,后在老师的指导下,在《安康师专学报》上发表论文《巧用函数的对称性求某些三角积分》,极大地提高了学生们的研究热情。 (2)鼓励大学生课余开展学习研究。创新离不开研究,而且研究需要持之一恒的精神,因此我们通过课余的学术报告会和专题讲座,来营造学生研究的平台,将他们吸引到《高等数学》研究领域,锲而不舍的对一些问题开展研究。如我校赵临龙教授在作《二阶线性微分方程的不变量解法》的学术报告时,指出《中国科学》上的一道二阶线性微分方程解有误,学生雷春来用不变量方法进行研究,在《高等数学研究》上发表论文《一道常微分方程题的商榷》。而且我们的学生吴作伦也在2001年的陕西省大学生“挑战杯”科技论文竞赛中荣获二等奖的好成绩,学生杨旭在2004年“我与《高等数学研究》”征文活动中,文章获三等奖,极大地促进了学生学习研究风气的形成。 (3)通过竞技活动提高创新能力。《高等数学》的基础学科性,使它成为专科理工科学生升本的必考课,这为搞好《高等数学》教学创造好良环境。我们也抓着这一有利因素,认真组织专升本《高等数学》课程教学和辅导。几年来,我校在专升本中,《高等数学》成绩高出全省平均成绩的20%左右,录取学生也列全省前列;同时,我们借陕西省大学生高等数学竞赛活动,在全校开展高等数学竞赛辅导,最后有7名学生获得2004年竞赛的二、三等奖;而且我们积极参加全国大学生数学建模竞赛活动,连续三年获得二等奖一项和三等奖二项。这些竞技活动的开展,大大提高了学生的参与力,并将拼搏精神贯穿于高等数学学习与研究中,取得较好成绩。 6 几年来的教学研究与实践,使我们看到《高等数学》的教学改革的艰巨性,但我们始终充满信心,结合我们的科研课题,争取更好的成绩。 参考文献 1 赵临龙、杜贵春、王昭海,师专物理、化学专业高等数学课程建设的调查分标[J].周口师专学报,2001.2. 2 赵临龙、成波、汪克刚,二阶变系数线性微分方程的Riccati方程解法[J].首大学学报,2001.2. 3 赵临龙、杜贵春、王昭海,高等数学极限理论教学改革的研究与实践[J].数学•力学•物理学•高新技术研究进展——2004(9)卷,西南交通大学出版社,2001.7. 4 赵临龙,“零值定理”的应用[J].数理天地,2002.5. 5 赵临龙,关于重要极限 0limx[sinx/x]=1的循环论证及新证法[J].数学•力学•物理学•高新技术研究进展——2004(10)卷,西南交通大学出版社,2004.7. 6 张东红、赵临龙,Dirichlet函数描述连续和导数概念的局部性[J].高等数学研究,2004.5. 7 谢克藻、李林霞,要注意高等数学统考对教学的指导作用[J].安康师专学报,2001.2. 8 谢克藻,原函数需要分段定义的定积分[J].数学通报,2001.5. 9 汪义瑞、李本庆,一致连续函数的判断[J].安康师专学报,2003.4. 10 汪义瑞,笛卡尔积的几个公式[J]. 安康师专学报, 2004.2. 11 汪义瑞,Lebesgue积分几何意义的另一证法[J]. 安康师专学报,2004.3. 12 汪义瑞、苏仁全,反函数连续性定理的补充证明[J].安康师专学报,2004.6. 13 汪义瑞、苏仁全,单侧导数与导数的单侧极限[J].安康师专学报,2005.1. 14 杜贵春,对于报限limn(1+1/n)n 证法的比较研究[J].安康师专学报,2004.4. 15 王昭海,关于定积分计算公试的推广[J].安康师专学报,2005.1.