由图4可求出灵敏度函数
S ( s ) = lim
[1 − Q( s)] Gn ( s) ∆GUY ( s ) GUY ( s ) dGUY ( s ) GP ( s ) = = ∆GP ( s ) → 0 ∆G ( s ) G ( s ) dGP ( s ) GUY ( s ) [1 − Q ( s ) ] Gn ( s ) + Q ( s )GP ( s ) P P
− sTd
Bp ( s) Ap ( s )
（9）
其中 T d 为延迟时间。
名义模型可以表示为:
Gn ( s ) = Bn ( s) An ( s)
(10)
在设计低通滤波器 Q ( s ) 的带宽时，高频扰动 对系统产生扰动作为标称对象的乘积摄动：
G p ( s) = Gn ( s)(1 + ∆( s))
GDY (s) = 0
(7)
上式说明，在低频段，干扰观测器仍使得实际 对象的响应与名义模型的响应一致，即可以实现 对低频干扰的有效补偿,从而保证较好的鲁棒性。 GDY (s) = 0 说明干扰观测器对于 Q ( s ) 频带内的
Gξ Y ( s ) = 1
低频干扰具有完全的抑制能力, ,
说明干扰
观测器对于低频测量噪声非常敏感，因此，在实际 应用中，必须考虑采取适当的措施，减小运动状态 测量中的低频噪声
Q (s) =
∑ α k (τ s )
k =0
M
M
k
(τ s + 1)
N
αk =
N! ( N − k )!k !
其中N为分母的阶数，M为分子的阶数，N-M为相对阶。
采用分母为三阶分子为一阶的低通滤波器，即 N=3, M=1, k=0,1。则
3! α0 = =1 (3 − 0)!0!
α1 =
3! =3 (3 − 1)!1!
Q(s) =
3τ s + 1 τ 3 s 3 + 3τ 2 s 2 + 3τ s + 1
(15)
低通滤波器的截止频率由时间常数tol决定，随着tol 的减少，带宽逐渐增加。 为了说明高频振动∆(s)对扰动观测器带宽的限制，图 5中从1/∆(s)与Q(s)的幅值特性来反映Q(s)带宽的限制。
Bode Diagram 150 1/Delta Q1 Q2 100 Q3
Q (s)
可以实现对低频干扰的有效补偿和高频噪声的有效 滤除,是一种很有效的工程设计方法。 由简化框图4可以从另一个角度来理解干扰观 测器的作用。在低频段， Q ( s ) = 1 则
1 =∞ 1 − Q(s)
Q( s) = Gn −1 ( s ) Gn ( s )
，显然，加入干扰观测器后，
系统在低频段时的控制相当于高增益控制； 在 高频段， Q ( s ) = 0 则
由图3可得
∑P ∆
k =1 k
n
k
= Gp ( s )
(2)
− Li = Q ( s ) − Gn 1 ( s ) Q ( s ) Gp ( Y ( s ) = GP ( s ) G P ( s )Gn ( s ) = 1 − Q ( s ) − Gn−1 ( s )Q ( s )GP ( s ) Q ( s )GP ( s ) + Gn ( s ) [1 − Q ( s ) ]
参考文献： 参考文献：
C.J.Kempf, S.Kobayashi, Disturbance Observer and Feedforward Design for a High-Speed Direct-Drive Positioning Table. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 1999, 7: 513-526
由图5可以看出，当截止频率为 由图 可以看出，当截止频率为450HZ时，式(14)的鲁 可以看出 时 的鲁 棒稳定条件已经被破坏；截止频率为150HZ时，1/∆(s)与 棒稳定条件已经被破坏； 与 Q(s)的幅值比较接近，是较为理想的选择；但是考虑实际系 的幅值比较接近，是较为理想的选择； 的幅值比较接近 统还有其他的模型误差及离散化时残差的影响， 统还有其他的模型误差及离散化时残差的影响，综合鲁棒稳 定与系统性能，只能选择 的滤波器。 定与系统性能，只能选择50HZ的滤波器。综上所述，由于 的滤波器 综上所述， 时间的延迟的影响， 时间的延迟的影响，系统只能在较低频段保持扰动观测器的 特性。 特性。
仿真程序： 选择滤波器 Q(s)仿真程序： 仿真程序 sys_delay.m ，其结果见图 。 其结果见图5
仿真程序: 仿真程序 连续系统: 连续系统 do_sim_int.m, do_sim.mdl, do_sim_plot.m
P k —从输入端到输出端第 k 条前向通道的总传递函数 ∆ k —特征式 ∆ 中，将其与第 k 条前向通道接触的 回路所在项除去后余下部分。并称代数余子式。
∑L
i
—所有各回路的“回路传递函数”之和； —
i j
∑L L
i
—两两互不接触的回路，其“回路传递函数” 乘积之和；
k
∑LL L
j
—所有三个互不接触的回路，其“回路传递函 数”乘积之和。
Q 在高频段， ( s ) = 0 由式(3)至(6)，有
GUY ( s ) = GP ( s )
GDY ( s ) = GP ( s )
Gξ Y ( s ) = 0
(8)
G 上式说明，在高频时， ξ Y ( s ) = 0 可见干扰观测器 对测量噪声不敏感，可以实现对高频噪声的有效滤除， 但对于对象参数的摄动及外部扰动没有任何抑制作用。 通过上述分析可见,通过采用低通滤波器 设计
5 一种基于干扰观测器的系统辨识
5.1 基本设计原理
一个实际对象（直流电机带动一个负载）及名 义模型的频率特性曲线如图1所示。
0
增益 增益/dB
-40 -80 10
0
10
1
10
2
相移/
o
-200 -400 -600 10
0
名义模型 对象 10
1
10
2
频率/Hz
图1 对象及名义模型频率特性曲线
干扰观测器的基本思想是将外部力矩干扰及模 型参数变化造成的实际对象与名义模型输出的差异 统统等效的控制输入端，即观测出等效干扰，在控 制中引入等量的补偿，实现对干扰完全抑制。干扰 观测器的基本思想如图2所示。
程鹏《 附：用梅森公式求传递函数（P程鹏《自动控制原理》49）， 用梅森公式求传递函数（ 程鹏 自动控制原理》 ）， 该公式的证明可参考有关著作。 该公式的证明可参考有关著作。
梅森公式的一般形式为：
G (s ) =
∑P∆
k =1 k
n
k
∆
G 式中： ( s ) —待求传递函数:
∆
—特征式，且 ∆ = 1 − ∑ Li + ∑ Li L j − ∑ Li L j Lk L
（1）
式（1）说明，用上述方法可以实现对干扰的准确估计和补 偿。图2描述了干扰观测器的基本思想，但对于实际的物理 系统，其实现存在如下问题：
（1）通常情况下， GP ( s ) 的相对阶不为0，其逆 物理上不可实现； （2）对象 GP ( s ) 的精确数学模型无法得到； （3）考虑测量噪声的影响，上述方法的控制性 能将下降。
n
Q ( s)
带宽的设计，是在干扰观测器的鲁棒稳定性和干扰抑制
能力之间的折衷。
Q ( s ) 的设计原则为:即在低频段， Q ( s ) = 1 ；在高频段，
Q ( s ) = 0 具体分析如下:
在低频时， Q ( s ) = 1 GUY ( s ) = Gn ( s )
由式(3)至(6)，有
Gξ Y ( s ) = 1
GP ( s ) 1 − Q(s) = Q ( s ) GP ( s ) 1+ Gn ( s ) 1 − Q ( s )
(3)
即：
GUY (s) =
GP (s)Gn (s) Gn (s) + [GP (s) − Gn (s)] Q(s)
(4)
根据式（3），对图3做等效变换，得到简化框图4 如下。
d
Gξ Y ( s ) = −GP ( s )Q( s) Gn ( s ) + [GP ( s ) − Gn ( s) ] Q( s )
(5)
(6)
Q ( s ) 是干扰观测器设计中一个非常重要的环节，首先，为使
Q(s)Gn−1(s) 正则，Q ( s ) 的相对阶应不小于 G ( s)的相对阶；其次，
将上式中的Gp(s) 用其名义模型Gn(s)来替代，则有
S (s) = 1 − Q(s)
则补灵敏度函数
T ( s) = 1− S ( s) = Q ( s)
则
1 || Q( jw) ||∞ ≤ || ∆( jw) ||∞
上式为低通滤波器Q(s)的设计依据。
(14)
低通滤波器去Q(s) Q(s)设计 4 低通滤波器去Q(s)设计 Q(s)为干扰观测器设计中的一个非常重要的环节，目前较 为流行的设计方法由H. S. Lee[3]提出，表达形式为
d
u
+
ε
−
+
+
GP ( s )
+ ˆ d
−
GP −1 ( s )
图2 干扰观测器的基本思想
图2中的GP ( s )为对象的传递函数， d 为等效干扰，d 为观测 ˆ 干扰， u 为控制输入。
ˆ 由上图，求出等效干扰的估计值 d 为：
ˆ = ( ε + d ) G ( s )G −1 ( s ) − ε = d d P P