5.11 几何变换 —— 空间变换2
5.11几何变换 —— 灰度级插补 空间变换只是完成了二维空间位置上的转换， 因此存在一个问题： 经几何校正后的坐标往往是非整数的。此 时像素灰度级如何确定？ 解决这个问题的办法就是灰度级插补。 1、最近邻域法
2、双线性内插法
5.11 灰度级插补——最近邻域法
约束最小二乘法的核心就是减少H对噪声的敏感度。
5.9 约束最小二乘滤波 2
约束条件为：
ˆ g - Hf
2
= η
2
最佳化的频域表示为：
调节参数 ，使其满足约束条件。P(u, v)为函数p(x, y)（拉普拉斯 算子）的傅氏变换。
为0时，(5.9-4)式转变为逆滤波。
5.9 约束最小二乘滤波 举例
5.8 最小均方误差（维纳）滤波 2
经推导后，可得到维纳滤波的公式：
H(u, v)为退化函数，H*(u, v)是H(u, v)的复共轭， 是噪声功率谱， 是未退化图像的功率谱。
5.8 最小均方误差（维纳）滤波 3
维纳滤波器中不存在逆滤波中退化函数为0的问题。
维纳滤波在实际中是很难应用的。因为它需要已知未退化图像 和噪声的功率谱。 若噪声为0，则无噪声功率谱，维纳滤波退化为逆滤波。
用于复原处理的滤波器称为“去卷积滤波器”。
在频率域内表现为图像和退化函数变换的乘积，然 后加上噪声的变换。 许多退化模型可近似表示为线性的位置不变过程。
上节回顾
5.3 仅存在噪声复原——空间滤波
均值滤波器、顺序统计滤波器、自适应滤波器
5.3
5.4 频率域滤波复原
带通滤波器、带阻滤波器、陷波滤波器、陷波带通滤波器、陷波带 阻滤波器、最佳陷波滤波器
若噪声为白噪声，噪声功率谱为常数，常采用下面公式近似，K 为比例常数：
5.8 逆滤波和维纳滤波的比较
全逆滤波 半径为70的逆滤波 维纳滤波
5.8 逆滤波和维纳滤波的进一步比较
由运动模糊 及均值为0， 方差为650的 加性噪声污 染的图像
噪声方差小 一个数量级.
噪声方差小5 个数量级.
逆滤波结果
5.4.1 带阻滤波器透视图
5.4.1 带阻滤波器应用举例
圆对 称带 阻滤 波器
5.4.2 带通滤波器
5.4.2 带通滤波器说明
带通滤波器并不常用，因为滤除了过多的图像信息， 包括细节和粗略的信息。
当我们仅需要对图像中的 某个频段作分析时，才采 用带通滤波器，如右图， 就是通过带通滤波器提取 的5.16 (a)的噪声。
Gs (u, v) H s (u, 建的子图像的 傅氏变换
5.6.2 试验估计法
1、有与获取退化图像的设备相似的装置。
2、通过调整系统设置，将与退化图像类似的图像退化 到尽可能接近我们期望复原的图像。
3、利用相同设置，成像一个冲激（用一个尽可能亮的 亮点来模拟），得到退化的冲激响应G(u,v)。
实现简单 但边缘处容易产生扭曲
5.11 灰度级插补——双线性内插法
对于通常目的的图像处理，双线内插是一种 很实用的方法，可得到较平滑的结果。
v( x, y) ax by cxy d 这里，系数a, b, c, d由点( x, y)的4个 最邻近点写出的4个未知方程决定。
5.4.4 最佳陷波滤波器
公式推导1
的局部方差为：
(5.4-6)
考虑点(x,y)在(2a+1)×(2b+1)的邻域内，
通过化简，有：
（5.4-11）
5.4.4 最佳陷波滤波器
求 可得： 最小化，即：
公式推导2
（5.4-12）
（5.4-13）
根据w(x, y)可获得复原图像
5.4.4 最佳陷波滤波器应用举例
齐次：任何与常数相乘的输入响应等于该输入相应乘 以相同的常数。
位置不变（移不变）系统，或称空间不变系统，有：
5.5 线性、位置不变的退化 2
连续域中：
假定
，H线性且齐次：
为系统冲激响应，或称点扩散函数。 5.5-11式是线性系统理论的核心。即线性系统H完全可 由其冲激响应来表示。
5.5 线性、位置不变的退化 3
5.5 线性位置不变的退化
5.6 估计退化函数
真正的退化函数是无法得知的。因此需 要采用估计方法复原。
主要方法： •图像观察估计法 •试验估计法 •模型估计法
5.6.1 图像观测估计法
观测图像中的某块区域，该区域应具有以下特性： 1、与原始图像具有相同特性 2、信号较强，噪声可忽略 使用目标和背景的样品灰度级，构建一个不模糊的图 像，该图像和观测区域具有相同的大小和特性。
图5.20a火星 地形图的傅 立叶谱（频 谱的原点没 有移动到图 像中心）。
5.4.4 最佳陷波滤波器应用举例 2
噪声谱图以及相应的噪声图像。
5.4.4 最佳陷波滤波器应用举例 3
选择 a=b=15的 邻域。
5.5 线性、位置不变的退化 退化图像：
若H为线性齐次，则有：
可加性：两输入和的响应等于两响应和。
5.11 几何变换
几何变换：修改图像中像素的空间位置，或关系。 两个基本操作： 1、空间变换 2、灰度级插补
5.11 几何变换 —— 空间变换 理想图像 f 像素点坐标(x, y) 几何失真 实际图像 g (x’, y’)
r和s可近似表示为多项式形式，目的就是为了 求解多项式中的系数，或称几何校正系数。
通常约束最小二乘滤波效果要好于维纳滤波。原因在于….
5.10 几何均值滤波
它是维纳滤波器的普遍化，定义了一个滤波器族。
=1，滤波退化为逆滤波 =0，滤波退化为参数维纳滤波 =0， =1，滤波退化为标准维纳滤波 =1/2，滤波器变成相同幂次的两个量的积，
这就是几何均值的定义
=1/2， =1为通常的谱均衡滤波器
5.6.3 模型估计法
建模举例 4
a=b=0.1, T=1的模糊结果
5.7 逆滤波
得到退化函数H后，如何获得复原图像？ 最直接的方法采用逆滤波：
能真正获得未退化的图像吗？ (1) N(u,v)未知 (2) 当退化是0或非常小的值的情况。
5.7 逆滤波
• 一般直接逆滤波的效果较差。 一种解决退化是零或者很小值问题的途径是限制 滤波的频率使其接近原点值。 • 因为H(0,0)等于h(x,y)的平均值，并且通常是 H(u,v)在频域的最高值。所以，通过将频率限制 为接近原点进行分析，就减少了遇到零值的几率。
5.7 逆滤波举例
5.8 最小均方误差（维纳）滤波
逆滤波只是猜测性地处理噪声。 常用的具有统计意义上的噪声处理方法：最小均方或最小二乘 方法。
ˆ ，使其与真实值 f 之间的均方误差最小： 目的是寻找估计值 f
e E
2

ˆ ff

2
假定噪声和图像不相关，估计的灰度级是退化图像灰度级的线性 函数。
根据位置不变性，可简化为卷积积分形式：
考虑加性噪声，线性退化模型可表示为：
若H为位置不变，则有：
具有加性噪声的线性空间不变退化系统，可在空间域 被模型化为退化函数。
5.5 线性、位置不变的退化 小结
具有加性噪声的线性空间不变退化系统，可在空间 域被模型化为退化函数（点扩散函数）与图像的卷积， 并加上噪声。 术语“图像去卷积”通常用来表示线性图像复原。
5.11 几何变换 举例
具有25个 连接点的 图像
用最近邻 点内插失 真的图像 几何失真 后的连接 点
复原结果
用双线性 内插失真 的图像
复原结果
5.11 几何变换举例 2
原 图 几何失真 后的图像
差值 图像
几何复原 后的图像
5.4.4 最佳陷波滤波器原理
令H为噪声频段的陷波带通滤波器的传递函数。它通常 需要通过观测G的频谱来创建。
（5.4-3）
上式经逆变换可得图像噪声。显然不同的噪声对干扰的 作用是不一样的，即存在权重w。
（5.4-5）
w(x, y)称为加权函数或调制函数。目的就是寻找一组 w(x, y) ，使得估计值在每一点(x, y) 指定邻域上的方差 最小。
傅氏变换：
改变积分顺序：
5.6.3 模型估计法
建模举例 2
提取与t无关项：
其中：
5.6.3 模型估计法
建模举例 3
假设x方向以速度a/T匀速运动，则x方向的位移为：x0(t) = at/T
y方向以速度b/T匀速运动，则y方向的位移为：y0(t) = bt/T 则：
T H (u, v) sin[ (ua vb)]e j (ua vb) (ua vb)
线性空间不变系统的冲激响应为：
其中，A为冲激强度。
5.6.2 试验估计法
放大显示的亮脉冲
成像的（退化的）冲激响应
5.6.3 模型估计法
基于大气湍流的物理特性建立的退化模型： H (u, v) ek (u
2
v 2 )5 / 6
5.6.3 模型估计法
建模举例
模型化的一个主要方法就是从基本原理开始推导一个数学模型。 以相机对运动物体成像为例，设T为曝光时间，则
5.4.1 带阻滤波器
带阻滤波器：阻止一定频率范围内的信号通过而允许其它频率 范围内的信号通过，消除或衰减关于傅里叶变换原点的某个频 段。 理想带阻滤波器
巴特沃思带阻滤波器 高斯带阻滤波器
5.4.1 带阻滤波器（理想带阻滤波器传递函数）
W是阻带的宽度，D0是阻带的中心半径。
5.4.1 带阻滤波器（巴特沃思和高斯带阻传递函数）
5.4.3 陷波滤波器
5.4.3 陷波带阻滤波器透视图
5.4.3 理想陷波带阻滤波器传递函数
D0为阻带半径。
5.4.3 巴特沃思和高斯陷波带阻滤波器传递函数