14卷4
期
1998年12月
世界地震工程WORLDINFORMAn0NONEARTHQUAK卫ENVbU4,Nb.4Dec1卯8
主动结构振动控制算法综述
’
李敏霞刘
季
(华南建设学院广州51沙10习(哈尔滨建筑大学哈尔滨l州公)1)
摘要
系统介绍了结构振动主动控制常用的七种算法包括经典线性最优控制极点配1法
瞬时最优控制独立模态控制H.状态反馈控制滑动模态控制及最优多项式控
制
主题词振动控制主动控制算法
1前言
控制算法是结构振动主动控制研究的重要内容尽管结构主动控制算法系源于现代控制理论但这些理论在土木工程结构的应用中产生了一系列的特殊问题有待于进
一
步研究解决20多年来国内外从事结构控制的学者对主动控制算法进行了大量的研
究取得了一系列成果从原理上讲所有现代控制理论的控制算法都可以借鉴过来用于结构主动控制但由于土木工程结构的特殊性有些算法可直接应用有些算法就要作些
特殊处理目前主动结构振动控制常用的有7种算法包括经典线性最优控制极点配置法瞬时最优控制独立模态控制Ha状态反馈控制滑动模态控制及最优多项式
控制本文将对其逐一进行介绍
2受控系统的方程
假设结构模型是一个,自由度的集中质量一弹簧一阻尼系统受控结构系统的矩阵
运动方程为M少(r)+C夕(r)+Ky(t)=Du(t)+Ef(t)(l)
其中MC和K分别是nx。阶的质量阻尼和刚度矩阵y(t)是。维位移向量
f(t)是
r
维扰力向量试O是m维控制力向量nxm阶矩阵D和nxr阶矩阵E分别是控制力和外扰
力的位置矩阵假设控制系统为一闭一开环系统即控制力是位移向量y(t)速度向量夕(t)和外扰
力f(O的线性函数则控制力可表达为
。(t)=Kly(t)+C:夕(t)+E:f(艺)(2)
本文受国家自然科学基金资助世界地展工程14卷其中凡C.和E.分别为位移向量速度句量和外扰力的控制增益矩阵将式(2)代人式
(l)
得
M夕(r)+(C一DCI)夕(t)+(K一DKI)y(t)=(E+DE:)f(r)(3)
可以
看出闭环控制的作用就是改变结构的参数(刚度和阻尼)开环控制的作用就是改
变(减小或消除)外扰力控制增益矩阵凡C,和E,的取值由所选用的控制算法决定为了便于以下的讨论将式(l)改写为下面的状态方程
:
文(t)二Ax(t)+B“(t)+Hf(t
)x(0)二x。(4)
其中X(t)一[:{:}]
(5)
是2n维状态向量
「OA二I一M一lK一拼:。」,一}矿:。{和H一「、{!:」‘6
,
分别是ZnxZn阶系统矩阵知x。阶控制器位置矩阵和Znxn阶外扰力位置矩阵式(6)中
的O和I分别表示nxn阶零矩阵和单位矩阵其他有关符号说明同上节
下面对各种算法进行简
要的
介绍
3经典线性最优控$lJ(classi回hnea
rop柱malcontro
l)I,“l
在经典线性最优控制中控制向量“(t)的选取要使得性能指标J为最小性能指标
J
通常取为
,一盯‘【二(r)“·‘r,二了‘亡,“·‘亡,,‘!(7)
式中Q和R为权
矩阵
为了求解式(4)约束条件下式(7)的最优控制问题首先要用一个拉格朗日时变因子双O将该两式合并形成为如下的拉格朗日函数
L:
:一买‘{·、r)。·(r)…(!),·(r)+*·(‘):,·(亡卜*(r)·。,(!)一*(:刀}d亡(8)
将L对城t)和u(t)进行变分并令之为零可得出该最优控制的必要条件为
又(t)=一Ar又(‘)一ZQx(t)又(tr)=
o
(9)
u(:)一喜;一:。T*(:)。1。)
2一、。,
,,‘
(l(l
31
闭环控制
当控制向量仅由状态向量调节时可设
又(t)=
只炸戏O
将上式代人式(4)(9)和(10)并令f(t)为零得出如下的R匆Cati方程:
户(:)+p(:)A一合,(:)BR一BrP(:)+,,(:)+,。一。p(:了)一。4期李敏被等:主动结构振动控制算
法综述
通过求解该瓦cati方程可得出未知矩阵代O因此也称代t)为形cati矩阵
将式(l一)代人式(10)得出线性最优控制律(LinearOPt~1cont
r
olLaw
)
为
。(:)一G(:)x(:)一冬;一,:,,(,)x(。)‘(13)
式中“。一合“一’B锄为控制增益数值计算表明八O在控制域保持着常值可近似为常矩阵只Rla之ti方程式(12)可简化为接近t,时突然降为零因此P(t)通常
416(l(l(l
尸通一李尸丑丑一,丑毕+滋T尸+20=
o
2一
控制增益G(t)也是一个常矩阵
G=一李R一lB
,
2该增益矩阵可预先算出32闭一开环控制(dose一open一ooveontro一)和开环控制(叩en一loopeontrol)当状态向量和外扰力同时用于调节控制向量时形成闭一开环控制设
又(r)=P(r)x(r)+S(t)f(t)同样将上式代人式(4)(9)和(10)得出如下的凡
cati
方程:
【P(r)+P(r)A一p(r)+ATP(:)+ZQ]x(r)
孟1_____,~一。;。
+I“(‘)一(亏p(‘)BR一’B丁一A(‘)S(亡)+p(r)H]f(‘)+￡(‘)f(
‘
)
一”
p(‘,)=oS(t,)=0(17)让该等式的第一部分等于零可用前面闭环控制的方法求出增益矩阵代t)剩下部分为
:‘(:卜(合,〔:)。:一B7一A(r)s(:卜p(:)HI,(,卜S(:)j(
:
卜0
S(t,)=o(1
8
)
遗憾的是开环控制增益S(t)通常无法求出二这时因为求解上式时需要预先知道f(t)和f(t)
在全部控制域上的值这在结构控制中是行不通的
对于开环控制有
双t)=S(t)f功(
19)
在求解过程中出现与闭一开环控制相同的问题因此开环控制在结构控制中是无法
实现的要说明的是此处所述的开环控制或闭环控制的前提是经典线性最优控
制因为采用其他控制算法时开环控制有时是可行的
4极点配置法(
poleassign
ment
)13,l
考虑状态方程(4)系统矩阵A的特征值叮‘与原结构的模态频率叭和模态阻尼比二
的关系为
,‘一“。“j。‘
了不万
j=
了二了
(20)世界地
展工程14卷
设控制力是状态的线性反馈即
u(t)=Gx(亡)(2
1
)
式中G是常增益矩阵将上式代人(4)得到闭环控制系统的方程
戈(t)=(A+GB)x(t)+Hf(。)x(0)=x。
(
2
刁
受控结构的系统矩阵变为A+BG产生新的特征值丫并对应新的模态频率。了和模态
阻尼比盯
极点控制的目的就是要选择适当的增益矩阵G使得受控结构具有所希望的模态频
率。厂和模态阻尼比C即控制系统的极点位于所希望的位置上极点配置的算法在控制理论中已经进行了充分的研究将它用于结构的振动控制仅当几个特殊振型决定结构反应时才有效M
5瞬时最优控制(协stantaneousoptimalcontro
l)16,l
取时变性能指标成t)为J(r)=xT(t)Qx(r)+u了(r)Ru(t)(23)寻找最优控制律、使得性能指标J(t)在0蕊t镬t,的每一瞬时亡均为最小考虑状态方程(4)假设系统矩阵A具有不同的特征值用A的特征向量作列向量形成ZnxZn阶模态矩阵T,并作如下变换动=斌0(24)
可将式(4)转化为解祸形式的状态方程
云(‘)=A:(t)+叮(t):(0)=0(2
匀
其中A=T’AT(26)
是对角矩阵其对角线元素是A的特征值并且任(t)“
T一’[B
“(t)+Hf(t)](
幼
对于较小的时间间隔△t模态状态向量xt)可以表达为
·(亡卜卫“二p:、(卜·刀。(·)‘二工r‘二poA(卜·)}、(·)d·
:。xp
(、△:):(。一△。)+冬[exp(*△:)、(卜△‘)+、(:)-
‘(28)
联立式(24)(27)和(28)求解出状态向量戏t)~△t
一
xL「)=宜“L‘一凸‘)十万一L万uL「)十
月
J气r)J(2
9)
其中过(。一。:)一。xp(、△。):一,{二(:一△。)+粤[。。(。一△:)+。厂(。一△:)1}(3
0)
‘至此瞬时最优控制问题转化为:在约束条件式(29)下求成O为最小令哈密顿函数为