例3 :
甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6 个零件，乙中途停了15天没有加工。40天 后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。 这时两人各加工了多少个零件？
分析 :
甲工作了40天，而乙停止了15天没有加工，乙只 加工了25天，所以他加工的零件正好是甲的一半 ，也就是甲20天加工的零件和乙25天加工的零件 同样多。
例2 :
把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米， 然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，竹竿 湿的部分比它的一半长13厘米。求竹竿的 长。
分析:
因为竹竿先插了一次，湿了40厘米，倒转 过来再插一次又湿了40厘米，所以湿了的 部分是40×2=80（厘米）。这时，湿的 部分比它的一半长13厘米，说明竹竿的长 度是（80－13）×2=134（厘米）。
例2 :
甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹 果，分配时甲、乙都比丙多拿24千克。结 帐时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹 果多少元？
分析:
三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的 苹果。24×2÷3=16（千克），也就是丙 少拿16千克苹果，所以得到24×2=48元。 每千克苹果是48÷16=3（元）。
方法二：根据已知条件，我们可先求出乙班比 甲班少42－35=7人，那么25位新同学中我们 可先分7人给乙班，使乙班和甲班一样多，这 样就剩下25－7=18人。剩下的18人，我们再 平均分给两班，每班各分18÷2=9人。
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第三节 复合应用题
一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量 关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量 关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。 因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规 律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、 示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题 的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出 所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出 必须的两个条件（分析法）。在实际解时，可以 根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。
由于甲每天比乙多加工6个，20天一共多加工 6×20=120（个）。这120个零件相当于乙2520=5（天）加工的个数，乙每天加工120÷（ 25-20）=24（个）。乙一共加工了 24×25=600（个），甲一共加工了 600×2=1200（个）
例4 :
服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成 任务。实际每天比计划多加工60件，照这 样做了15天，就超过原计划件数350件。 原计划加工上衣多少件？
例5:
王师傅原计划每天做60个零件，实际每天 比原计划多做20个，结果提前5在完成任务 。王师傅一共做了多少个零件？
分析:
按实际做法再做5天，就会超产（60＋20 ）×5=400（个）。为什么会超产400个 呢？是因为每天多生产了20个，400里面 有几个20，就是原计划生产几天。 400÷20=20（天），因此，王师傅一共 做了60×20=1200（个）零件。
例3:
甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大 卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2 吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10 升和5升。用多少辆大卡车和小卡车来运输 时耗油最少？
分析: 大汽车一次运5吨，耗油10升，平 均运1吨货耗油10÷5=2（升）；小汽车 一次运2吨，耗油5升，平均运1吨货耗油 5÷2=2.5（升）。显然，为耗油量最少应 该尽可能用大卡车。177÷5=35（辆） ……2吨，余下的2吨正好用小卡车运。因 此，用35辆大汽车和1辆小汽车运耗油量最 少。
应用题（三）
例1 : 甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每
天共生产700个。由于改进技术，甲每天多 生产100个，乙的日产量提高了1倍，这样 二人一天共生产1020个。甲、乙原计划每 天各生产多少个零件？
分析 二人实际每天比原计划多生产1020－ 700=320（个）。这320个零件中，有 100个是甲多生产的，那么320－ 100=220（个）就是乙日产量的1倍，即乙 原来的日产量，甲原来每天生产700－ 220=480（个）。
例4:
有一栋居民楼，每家都订2份不同的报纸 ，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报 34份，江海晚报30份，电视报22份。那么 订江海晚报和电视报的共有多少家？
分析 :
这栋楼共订报纸34+30+22=86（份） ，因为每家都订2份不同的报纸，所以一共 有86÷2=43家。在这43家居民中，有34 家订了北京日报，剩下的9家居民一定是订 了江海晚报和电视报。
分母：（61-43）÷（1－7/9）＝81
分子：81× 7/9 ＝63
81-61＝20或63-43＝20
解法二：43/61的分母比分子多18，7/9的分母比 分子多2，因为分数的 7/9与分母的差不变，所以 将7/9的分子、分母同时扩大18÷2=9倍。
7/9的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7） ＝9（倍）
在一个最简分数的分子上加一个数，这个分 数就等于5/7。如果在它的分子上减去同一 个数，这个分数就等于1/2，求原来的最简 分数是多少。
解法：两个新分数在未约分时，分母相同。 将这两个分数化成分母相同的分数，即 5/7=10/14，1/2=7/14。根据题意，两个 新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想 10/14和7/14的分子和分母再乘以2。所以
途径。
例题1 有一个正方形池塘，四周种树，每 边种8棵，每个顶点种一棵，每两棵树之间 距离都相等。四周一共种了多少棵树？
方法一：根据条件可知，每边种8棵，4边就是
8×4=32棵，但每边起点一棵算了两次，一共多算了 4棵，所以四周一共种了32－4=28棵树。
方法二：我们可以先数正方形的一组对边，包括两
第四次课
1
原计划的内容：
替换法（重点） 从变量中找不变量的方法（重点） 割补法 构造法 代数法 转化法 消去法
第一节 抓“不变量”解题
一些分数的分子与分母被施行了加减变化， 解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有 变。抓住分子或分母，或分子、分母的差， 或分子、分母的和等等不变量进行分析后， 再转化并解答。
方法三：根据“并瓶油连瓶共重550克”可求 出一瓶油和两个瓶共重550×2=1100克，所 以瓶重：1100－800=300克，油重800－ 300=500克。
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例题3:
甲班有42人，乙班有35人，开学时来了 25位新同学，怎样分才能使两班学生人数 相等？
方法一：根据已知条件，我们可求出转来了25 位同学后的总人数为：42＋35＋25=102人， 再求出平均每班为102÷2=51人，再根据甲班 乙班原有的人数分别求出甲班分了：51－ 42=9人，乙班分了：51－35=16人。
例1 五年级有六个班，每班人数相等。从 每班选16人参加少先队活动，剩下的同学 相当于原来4个班的人数。原来每班多少人 ？
分析：从每班选16人参加少先队活动，6个 班共选16×6=96（人）。剩下的同学相当 于原来4个班的人数，那么，96人就相当于 原来（6－4）个班人人数，所以，原来每班 96÷2=48（人）。
例3 :
将一根电线截成15段。一部分每段长8米 ，另一部分每段长5米。长8米的总长度比 长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少 米？
Hale Waihona Puke 分析 设这15段中有X段是8米长的，则有（ 15－X）段是5米长的。然后根据“8米的总 长度比5米的总长度多3米”列出方程，并进 行解答。
例4 :
甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去 2.5小时改装机器，因此前4小时甲比乙少 做400个零件。又同时加工4小时后，甲总 共加工的零件反而比乙多4200个。甲、乙 每小时各加工零件多少个？
个顶点的，每边种8棵；再数另一组对边的，不数两 个顶点的，每边种8－2=6棵。所以，一共有：8×2
＋6×2=28棵。 方法三：把正方形四边拉直，每边种8棵，就是把每
边分成了7等份，4边共分成了28等份，每一等份对 应一棵树，所以共有28棵树。
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例题2 :
一瓶花生油连瓶一共重800克，吃掉一半油 ，连瓶一起称，还剩550克。瓶里原有多少 克油？空瓶重多少克？
第2节 一题多解
一题多解是指从不同角度，运用不同的思维
方式来解答同一道题的思考方法，经常进行一题多
解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑更灵活。
在进行一题多解的练习时，要根据题目的具
体情况，首先确定思维的起点，然后沿着不同的思
考方向，就能找到不同的解题方法。在寻求一题多
解时，还应该特别选择解决问题的简便方法和最佳
5/7＝10/14＝20/28，1/2＝7/14＝ 14/28
故原来的最简分数是。
例4：
有一个分数，如果分子加1，这个分数等于 1/2；如果分母加1，这个分数就等于1/3， 这个分数是多少？
例4分析
根据“分子加1，这个分数等于1/2”可知， 分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个 分数就等于1/3”可知，分母比分子的3倍少 1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（ 3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这 个分数是3/8。
例2 : 某车间按计划每天应加工50个零件 ，实际每天加工56个零件。这样，不仅提 前3天完成原计划加工零件的任务，而且还 多加工了120个零件。这个车间实际加工 了多少个零件？
分析: 如果按原计划的天数加工，加工的零 件就会比原计划多56×3＋120=288（个 ）。为什么会多加工288个呢？是因为每天 多加工了56－50=6（个）。因此，原计划 加工的天数是288÷6=48（天），实际加 工了50×48＋120=1520（个）零件。
方法一：根据条件可知，花生油和瓶的重量油 800克变为550克，是因为吃掉了一半油，半 瓶油的重量是800－550=250克，一瓶油的 重量是250×2=500克，油瓶的重量是800－ 500=300克。
方法二：根据条件可知，半瓶油连瓶重550克， 从550克中减去半瓶油的重量800－550=250 克，550－250=300克即为瓶的重量，油的 重量为：800－300=500克。