神经元放电活动的分岔分析摘要神经元是神经系统的基本结构和功能单元,在神经信息处理过程中起着关键的作用。

虽然神经系统各不相同，但大多数神经元都具有许多相似的特征：比如各种离子通道、丰富的非线性现象以及作为信息载体的膜电位等。

神经信息主要依靠神经元丰富的放电节律模式进行编码，因而研究神经细胞通过内在参数变化或外部激励条件改变时展现的放电节律模式以及各种模式之间的相互转迁就有着及其重要意义。

本文应用非线性动力学的分岔理论、相平面分析、快慢动力学分析和数值模拟等方法，针对神经元ML模型、HR模型以及Chay模型，系统地研究了神经元的放电行为及放电模式间相互转迁的动力学机制。

这些方法也可以应用于其它类型神经元，或用于发现新的放电模式，并对今后的神经电生理实验有一定的理论指导作用。

关键词：神经元峰放电簇放电分岔相平面分析快慢动力学分析Bifurcation Analysis on Neuronal Firing ActivitiesAbstractAs the fundamental structural and functional unit of the nervous system,neuron plays an extremely vital role in the neural information processing．Although nervous systems are quite different, many fundamental features of neurons are common to most of neurons, such as ion channels, rich nonlinear phenomenon and the membrane potential as the carrier of information. Various firing patterns are related to different stimuli, which mean that firing patterns carry corresponding neural information, so it is meaningful to study different firing activities owing to internal parameters or external stimulations, as well as the transitions between different firing patterns.In this dissertation, based on the bifurcation theory of nonlinear dynamics, the phase plane analysis, the fast-slow dynamics analysis and the numerical simulation, we deeply study on different firing activities and dynamics mechanism of transitions between different firing patterns. These methods and results in this dissertation can be applied to different types of neurons, and also may give an instructive guidance to the observation and analysis of neuronal firing activities, and hence will promote the development of both nonlinear dynamics and neuroscience. Key Words:neuron, spiking, bursting, bifurcation, phase plane analysis, fast-slow dynamics analysis第一章引言1.1研究背景二十世纪后半叶，非线性科学作为研究非线性现象共性的基础学科，获得了前所未有的发展，其与量子论、相对论一起被誉为二十世纪自然科学中的“三大革命”。

非线性科学的研究不仅具有深远的科学意义，而且具有广泛的应用前景。

大量的研究表明，非线性动力学研究的分岔是非线性系统最重要而又最基本的特性，几乎在所有涉及非线性科学的领域中，都存在分岔现象。

因而分岔的研究，一直是近三十年来非线性科学最活跃的研究前沿。

由于非线性系统本身的复杂性和丰富多彩的特性，人们目前对非线性动力系统的认识仍处于初级阶段，这一领域的研究仍将是今后相当长一段时间内科学研究的重点和热门课题。

分岔、混沌和孤立子是非线性科学研究的三个最基本、最热门的课题。

事实上，这些不是相互孤立的：混沌是一种分岔过程，孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系，同宿轨和异宿轨是分岔研究中的两种主要对象。

由此可见分岔研究在非线性科学中的重要性。

分岔是非线性现象中特有的现象，是指非线性动力系统的参数变化所引起的系统拓扑结构的突然变化的现象。

神经系统是由数量众多的神经细胞组成的庞大而复杂的信息网络，它通过神经元的放电活动对信息处理、编码、整合并转变为传出冲动，从而联络和调节机体的各系统和器官的功能，在机体功能调节系统中起着主导作用[1]。

神经元作为神经系统的基本功能单位，能感受刺激和传导兴奋。

各种电生理实验发现：在不同的Ca2+离子浓度或者不同幅度的外界直流电刺激下神经元能表现出丰富的放电模式，比如周期的或者混沌的峰放电和簇放电，这些表明神经元具有高度的非线性。

在整个神经系统中，神经脉冲的传递往往需要至少两个以上的神经元通过耦合的方式来完成，而这更是非常复杂的高维非线性动力系统。

因此，研究神经元的放电模式的产生和神经信息在神经元之间的传递过程，就需要借助非线性动力学的理论和方法。

随着非线性动力学在神经系统的放电活动和信息识别中的应用越加深入，使得对神经放电节律及其表达的编码机制的研究受到越来越多的重视。

近年来，国际上出现的以神经生理学与非线性动力学相结合的神经动力学，是利用非线性动力学的理论和方法来解释神经生理实验中观察到的诸多现象，并进一步指导电生理神经实验，成为了研究神经元放电活动的一门重要学科。

1.2神经元电活动的数学模型20世纪50年代，Hodgkin等[2]第一次提出了神经元电活动的数学模型，即Hodgkin-Huxley(HH)模型，该模型描述神经轴突电位的变化，而Hodgkin和Huxley也因此荣膺诺贝尔生理学和医学奖。

尽管HH模型非常接近现实的神经元，但是它过于复杂，几乎不可能给出它的解析解，因此从数学角度去分析神经元的放电行为就比较困难了。

1961年，FitzHugh和Nagumo等在保留HH模型生物特性的基础上，采用精简变量的方法提出二维FHN模型；之后，Morris和Lecar[3]得到了描述北极鹅肌肉纤维的神经元电活动的Morris-Lecar(ML)模型。

20世纪末期Chay [4]考虑了细胞膜上的三种主要离子通道，得到了一个用三个动力学变量描述的神经细胞电活动模型，即著名的Chay 模型。

还有在表达形式上比较简单的Hindmarsh-Rose [5](HR)模型，该模型在数值计算和理论分析上比较可行。

1.2.1 Hodgkin-Huxley 模型I V V g V V h m g V V n g dtdV Cm L L Na Na K K +-+-+-=)()()(34， m V m V dtdm m m )()1)((βα--=， h V h V dtdh h h )()1)((βα--=， n V n V dtdn n n )()1)((βα--=， 其中)10/)40(ex p(1)40(1.0+--+=V V m α， )18/)65(ex p(4+-=V m β，)20/)65(ex p(07.0+-=V h α，)10/)35(ex p(11+-+=V h β， )10/)55(ex p(1)55(01.0+--+=V V n α， )80/)65(ex p(125.0+-=V n β，方程组里的变量和参数分别对应以下解释：I ：通过细胞膜的各电流之和；V ：神经元膜电位；C ：膜电容：m ：N a 离子通道中激活门打开概率；n ：K 离子通道中激活门打开概率；h ：N a 离子通道中失活门打开概率；g Na ：N a 离子的最大电导：g k ：K 离子的最大电导；g L ：漏电流的最大电导；V Na ：膜内外N a 离子的浓度差引起的浓差电位；Vk ：膜内外K 离子的浓度差引起的浓差电位；V L ：其他通道各种离子引起的有效可逆电位；1.2.2 Morris-Lecar 模型 I V V g V V W g V V V m g dtdV C L L K K Ca Ca +------=∞)()())((， )()(V W V W dt dW R τφ-=∞， 其中方程组里的变量、参数和函数分别对应以下解释：V ：膜电位；W ：钾离子通道的活化概率；C ：膜电容；φ：表示神经元快慢尺度之间的变化；g Ca ：钙离子通道的最大电导；g k ：钾离子通道的最大电导；g L ：漏电流的最大电导；V Ca ：钙离子通道的反转电压；V k ：钾离子通道的反转电压；V L ：漏电流通道的反转电压；I ：来自环境的总的突触输入电流；)(V m ∞：钙离子通道打开的概率的稳态值；)(V W ∞：钾离子通道打开的概率的稳态值；))tanh(1(5.0)(21V V V V m -+=∞， ))tanh(1(5.0)(43V V V V W -+=∞， )2cosh(1)(43V V V V R -=τ， 1V ，3V 是系统的参数，其取值依赖于2V 和4V 的取值。

2V 和4V 分别表示依赖于电压的)(V m ∞和)(V W ∞的斜率的倒数。

1.2.3 Chay 模型)()(1)()(,4,3V V g V V CC g V V n g V V h m g dt dV L L K C K K V K I I -+-++-+-=∞∞ （1） nn n dt dn τ-=∞ （2） ))((3C K V V h m dtdC C C --=∞∞ρ （3） 其中(1)式表示细胞膜电位V 的变化所遵循的微分方程，等号右边四项分别为混合Na +-Ca 2+通道中的电流、电导依赖电位的K +离子通道电流、电导不依赖电位而依赖细胞膜内Ca 2+浓度的K 离子通道电流和漏电流；V k ，V I 和 V L 分别是K +离子通道、混合Na +-Ca 2+离子通道和漏电离子通道的可逆电位；g I ，g k, v , g k, c 和 g L 分别代表各通道的最大电导。