专训一：求代数式值的技巧名师点金：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算符号，计算出的结果就是代数式的值.如果要求值的式子比较简单，可以直接代入求值；如果要求值的式子比较复杂，可考虑先将式子化简，然后代入求值；有时我们还需根据题目的特点，选择特殊的方法求式子的值，如整体代入求值等.直接代入求值1.（2015·大连）若a＝49，b＝109，则ab－9a的值为Ｗ.2.当a＝3，b＝2或a＝－2，b＝－1或a＝4，b＝－3时，（1）求a2＋2ab＋b2，（a＋b）2的值.（2）从中你发现怎样的规律？先化简再代入求值3.已知A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，求多项式A－2[A－B－2（B－C）]的值，其中x＝－1.特征条件代入求值4.已知|x－2|＋（y＋1）2＝0，求－2（2x－3y2）＋5（x－y2）－1的值.整体代入求值5.已知2x－3y＝5，求6x－9y－5的值.6.已知当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，那么当x＝－1时，多项式12ax－3bx3－5的值是多少？整体加减求值7.已知x2－xy＝－3，2xy－y2＝－8，求代数式2x2＋4xy－3y2的值.8.已知m2－mn＝21，mn－n2＝－12.求下列代数式的值：（1）m2－n2；（2）m2－2mn＋n2.取特殊值代入求值9.已知（x＋1）3＝ax3＋bx2＋cx＋d，求a＋b＋c的值.专训二：与数有关的排列规律名师点金：1.数（式）中的排列规律，关键是找出前面几个数（式）与自身序号数的关系，从而找出一般规律，进而解决问题.2.数阵中的排列规律的探究一般都是先找一个具有代表性的数（设为某个字母）作为切入点，然后找出其他数与该数的关系，并用字母表达式写出来，从而解决相关问题.数式的排列规律1.（2015·淄博）从1开始得到如下的一列数： 1，2，4，8，16，22，24，28，…其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（ ）A .21B .22C .23D .992.（2015·包头）观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ）A .2531B .3635C .47D .62633.下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，图形中M 与m 、n 的关系是（ ）（第3题）A .M ＝mnB .M ＝n （m ＋1）C .M ＝mn ＋1D .M ＝m （n ＋1）数阵中的排列规律类型1 长方形排列 4.如图是某月的日历.日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122232425262728 29 30 31（第4题）（1）带阴影的长方形框中的9个数之和与其正中间的数有什么关系？（2）不改变长方形框的大小，如果将带阴影的长方形框移至其他几个位置试一试，你还能得出上述结论吗？你知道为什么吗？（3）这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？类型2十字排列5.将连续的奇数1，3，5，7，9，…按如图所示的规律排列.（第5题）（1）十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由.类型3斜排列6.如图所示是2016年6月份的日历.（第6题）（1）平行四边形框中的5个数的和与其中间的数有什么关系？（2）（1）题中的关系对任意这样的平行四边形框都适用吗？设中间这个数为a，请将这5个数的和用含有a的式子表示出来.专训三：图形中的排列规律名师点金：图形中的排列规律都与它所处位置的序号有关，所以解题的切入点是：先设法列出关于序号的式子，再用关于序号的式子表示图形的变化规律.图形变化规律探究1.从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征（）（第1题）2.一组“穿心箭”按如下规律排列，照此规律，画出第2 016支“穿心箭”是Ｗ.（第2题）图形个数规律探究类型1三角形个数规律探究3.（2015·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）.（第3题）类型2四边形中个数规律探究4.（2014·重庆）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有2个，第2个图形中面积为1的正方形有5个，第3个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第6个图形中面积为1的正方形的个数为（）（第4题）A.20B.27C.35D.405.（2014·金华）一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图所示方式进行拼接.（第5题）（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？（2）若用餐的有90人，则需要这样的餐桌多少张？类型3点阵图形中个数规律探究6.观察如图的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：①4×0＋1＝4×1－3；②4×1＋1＝4×2－3；③4×2＋1＝4×3－3；④；⑤Ｗ.…（第6题）（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式；（2）通过猜想，写出与第n（n为正整数）个图形相对应的等式.专训四：整体思想在整式加减中的应用名师点金：整式化简时，经常把个别多项式作为一个整体（当作单项式）进行合并；整式的化简求值时，当题目中含字母的部分可以看成一个整体时，一般用整体代入法，整体代入的思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来看的数学思想，运用这种方法，有时可使复杂问题简单化.应用整体思想合并同类项1.化简：4（x＋y＋z）－3（x－y－z）＋2（x－y－z）－7（x＋y＋z）－（x－y－z）.应用整体思想去括号2.计算：3x2y－[2x2z－（2xyz－x2z＋4x2y）].直接整体代入3.设M ＝2a －3b ，N ＝－2a －3b ，则M ＋N ＝（ ）A .4a －6bB .4aC .－6bD .4a ＋6b4.当x ＝－4时，代数式－x 3－4x 2－2与x 3＋5x 2＋3x －4的和是（ ）A .0B .4C .－4D .－2 5.已知A ＝2a 2－a ，B ＝－5a ＋1. （1）化简：3A －2B ＋2；（2）当a ＝－12时，求3A －2B ＋2的值.添括号后再整体代入6.（中考·威海）若m －n ＝－1，则（m －n ）2－2m ＋2n 的值是（ ）A .3B .2C .1D .－17.已知3x 2－4x ＋6的值为9，则x 2－43x ＋6的值为（ ）A .7B .18C .12D .98.已知－2a ＋3b 2＝－7，则代数式9b 2－6a ＋4的值是 Ｗ.9.已知a ＋b ＝7，ab ＝10，则式子（5ab ＋4a ＋7b ）－（4ab －3a ）的值为 Ｗ. 10.已知14x ＋5－21x 2＝－2，求式子6x 2－4x ＋5的值.11.当x ＝2时，多项式ax 3－bx ＋5的值是4，求当x ＝－2时，多项式ax 3－bx ＋5的值.特殊值法代入12.已知（2x ＋3）4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，求： （1）a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4的值； （2）a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4的值； （3）a 0＋a 2＋a 4的值.专训五：整式加减常见的热门考点名师点金： 本章的主要内容有整式的定义及其相关概念，整式的运算等，学好这些内容为后面学习整式乘法打好基础.而在中考命题中，对这些内容的考查常与其他知识相结合，主要以填空、选择题的形式出现.整式的概念1.下列说法正确的是（ ）A .整式就是多项式B .π是单项式C .x 4＋2x 3是七次二项式D .3x －15是单项式 2.若5a 3b n 与－52a mb 2是同类项，则mn 的值为（ ）A .3B .4C .5D .63.－13πx 2y 的系数是 ，次数是 Ｗ.整式的加减运算4.下列正确的是（ ）A .7ab －7ba ＝0B .－5x 3＋2x 3＝－3C .3x ＋4y ＝7xyD .4x 2y －4xy 2＝05.当a ＝－2，b ＝－1时，代数式1－|b －a|的值是（ ）A .0B .－2C .2D .46.把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm ，宽为n cm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）（第6题）A .4m cmB .4n cmC .2（m ＋n ） cmD .4（m －n ） cm 7.化简：（1）5x －（2x －3y ）； （2）－3a ＋[2b －（a ＋b ）]. 8.先化简，再求值：（1）43a －⎝⎛⎭⎪⎫2a －23a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13a 2，其中a ＝－14；（2）2（2x －3y ）－（3x ＋2y ＋1），其中x ＝2，y ＝－12.9.有这样一道题目：计算13x 2－⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋3xy －35y 2＋（83x 2＋3xy ＋25y 2）的值，其中x ＝－12，y ＝2.甲同学把“x ＝－12”错抄成了“x ＝12”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？整式的应用10.可以表示“比a 的平方的3倍大2的数”的是（ ）A .a 2＋2B .3a 2＋2C .（3a ＋2）2D .3a （a ＋2）211.某养殖场2015年底的生猪出栏价格是每千克a 元，受市场影响，2016年第一季度出栏价格平均每千克下降了15%，到了第二季度平均每千克比第一季度又上升了20%，则第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克（ ）A .（1－15%）（1＋20%）a 元B .20%（1－15%）a 元C .（1＋15%）（1－20%）a 元D .15%（1＋20%）a 元12.大客车上原有（4a －2b ）人，中途下车一半人，又上车若干人，这时车上共有（8a －5b ）人，那么上车乘客是 人.（用含a ，b 的代数式表示）13.某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人，两种都会的有7人.设会弹古筝的有m 人，则该班同学共有 人.（用含m 的代数式表示）14.若一个长方形的长是a ＋b ，它的宽比长短a －b （a ＞b ），则这个长方形的周长是 Ｗ.15.某服装厂有三个加工车间，9月份的生产情况是：第一车间加工服装x 套，第二车间加工的服装套数比第一车间的3倍少8套，第三车间加工的服装套数是第一车间的一半，你能求出9月份三个车间共加工多少套服装吗？当x ＝600时，三个车间共加工多少套服装？数学思想方法的应用类型1整体思想16.若a2＋2a＝1，则2a2＋4a－1＝Ｗ.17.已知当x＝1时，2ax2＋bx的值为3，则当x＝2时，ax2＋bx的值为Ｗ.18.已知2x2－5x＋4＝5，求式子（15x2－18x＋4）－（－3x2＋19x－32）－8x的值.类型2数形结合思想19.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－|c－b|的结果是（）（第19题）A.a＋cB.c－aC.－a－cD.a＋2b－c20.观察图中正方形四个顶点所标数的规律，可知2 016应标在（）（第20题）A.第503个正方形的左下角B.第503个正方形的右下角C.第504个正方形的左上角D.第504个正方形的右下角21.若单项式－3x a－b y5与单项式2xy5a＋b的和仍是单项式，则a＋b＝Ｗ.类型3转化思想22.已知A＝－3x2－2mx＋3x＋1，B＝2x2＋2mx－1，且2A＋3B的值与x无关，求m的值.探究规律23.观察下列等式：9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为Ｗ.24.用黑、白两种正六边形地面瓷砖按如图所示规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面瓷砖块.（第24题）25.用如图（a）所示的三种不同花色的地砖铺成如图（b）的地面图案.（1）用①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨的方法计算地面面积，请列出整式并化简.（2）你有更简便的计算方法吗？请你列出式子.（3）你认为由（1）（2）两种方法得到的两个式子有什么关系？为什么？（第25题）答案专训一1．4 9002．解：(1)当a＝3，b＝2时，a2＋2ab＋b2＝32＋2×3×2＋22＝25，(a＋b)2＝(3＋2)2＝25；当a＝－2，b＝－1时，a2＋2ab＋b2＝(－2)2＋2×(－2)×(－1)＋(－1)2＝9，(a＋b)2＝[(－2)＋(－1)]2＝9；当a＝4，b＝－3时，a2＋2ab＋b2＝42＋2×4×(－3)＋(－3)2＝1，(a＋b)2＝(4－3)2＝1.(2)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.3．解：原式＝A－2A＋2B＋4(B－C)＝A－2A＋2B＋4B－4C＝－A＋6B－4C.因为A＝1－x2，B＝x2－4x－3，C＝5x2＋4，所以原式＝x2－1＋6x2－24x－18－4(5x2＋4)＝－13x2－24x－35.当x＝－1时，原式＝－13×(－1)2－24×(－1)－35＝－13＋24－35＝－24.4．解：由条件|x－2|＋(y＋1)2＝0，得x－2＝0且y＋1＝0，所以x＝2，y＝－1.原式＝－4x＋6y2＋5x－5y2－1＝x＋y2－1.当x＝2，y＝－1时，原式＝2＋(－1)2－1＝2.5．解：6x－9y－5＝3(2x－3y)－5＝3×5－5＝10.6．解：因为当x＝2时，多项式ax3－bx＋1的值是－17，所以8a－2b＋1＝－17.所以8a－2b＝－18.当x＝－1时，12ax－3bx3－5＝－12a＋3b－5＝(－12a＋3b)－5＝－32(8a－2b)－5＝－32×(－18)－5＝22.7．解：由x2－xy＝－3，得2x2－2xy＝－6①；由2xy－y2＝－8，得6xy－3y2＝－24②.①＋②，得(2x2－2xy)＋(6xy－3y2)＝(－6)＋(－24)＝－30，即2x2＋4xy－3y2＝－30.8．解：(1)因为m2－mn＝21，mn－n2＝－12，所以m2－n2＝(m2－mn)＋(mn－n2)＝21－12＝9.(2)因为m2－mn＝21，mn－n2＝－12，所以m2－2mn＋n2＝(m2－mn)－(mn－n2)＝21－(－12)＝21＋12＝33.9．解：令x＝0，得(0＋1)3＝d，所以d＝1.再令x＝1，得(1＋1)3＝a＋b＋c＋d，所以a ＋b＋c＋d＝8.所以a＋b＋c＝8－1＝7.专训二1．A点拨：由题意知这列数为1，2，4，8，16，22，24，28，36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，…，故小于100的个数为21.2．C点拨：观察数据，发现第n个数为n22n－1，再将n＝6代入计算即可求解．3．D4．解：(1)带阴影的长方形框中的9个数之和是其正中间的数的9倍．(2)带阴影的长方形框中的9个数之和仍是其正中间数的9倍，理由如下：设带阴影的长方形框的正中间的数为x，则其余8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x ＋7，x＋8，带阴影的长方形框中的9个数之和为(x－8)＋(x－7)＋(x－6)＋(x－1)＋x＋(x ＋1)＋(x＋6)＋(x＋7)＋(x＋8)＝9x，所以带阴影的长方形框中的9个数之和是其正中间的数的9倍．(3)这个结论对于任何一个月的日历都成立．5．解：(1)十字框中的五个数的平均数与15相等．(2)这五个数的和能等于315.设正中间的数为x，则上面的数为x－10，下面的数为x＋10，左边的数为x－2，右边的数为x＋2.令x＋(x－10)＋(x＋10)＋(x－2)＋(x＋2)＝315.解得x＝63.这五个数分别是53、61、63、65、73.6．解：(1)平行四边形框中的5个数的和是平行四边形框中间的数的5倍；(2)适用．因为中间的数为a，所以其余4个数分别为a－12，a－6，a＋6，a＋12，它们的和为(a－12)＋(a－6)＋a＋(a＋6)＋(a＋12)＝5a.专训三1．B 2.3．(3n＋1) 点拨：方法1：因为4＝1＋3×1，7＝1＋3×2，10＝1＋3×3，…，所以第n个图案有1＋3×n＝3n＋1(个)三角形．方法2：因为4＝4＋0×3，7＝4＋1×3，10＝4＋2×3，…，所以第n个图案有4＋(n－1)×3＝3n＋1(个)三角形．4．B5．解：(1)1张长方形餐桌的四周可坐4＋2＝6(人)，2张这样的餐桌拼接起来，四周可坐4×2＋2＝10(人)，3张这样的餐桌拼接起来，四周可坐4×3＋2＝14(人)，…n张这样的餐桌拼接起来，四周可坐(4n＋2)人．所以4张这样的餐桌拼接起来，四周可坐4×4＋2＝18(人)，8张这样的餐桌拼接起来，四周可坐4×8＋2＝34(人)．(2)设需要这样的餐桌x张，由题意得4x＋2＝90，解得x＝22.答：需要这样的餐桌22张．6．解：(1)④4×3＋1＝4×4－3 ⑤4×4＋1＝4×5－3(2)4(n－1)＋1＝4n－3(n为正整数)．点拨：结合图形观察①、②、③中等式左右两边，发现有规律可循．等式左边都是比式子顺序数少1的数的4倍，再加上1；而等式右边，恰好是式子顺序数的4倍减3，这样④、⑤中的等式可以写出，进而我们可以归纳出第n个图形相对应的等式为4(n－1)＋1＝4n－3(n 为正整数)．专训四1．解：原式＝－3(x＋y＋z)－2(x－y－z)＝－3x－3y－3z－2x＋2y＋2z＝－5x－y－z.2．解：原式＝3x2y－2x2z＋(2xyz－x2z＋4x2y)＝3x2y－2x2z＋2xyz－x2z＋4x2y＝7x2y－3x2z＋2xyz.3．C 4.D5．解：(1)3A－2B＋2＝3(2a2－a)－2(－5a＋1)＋2＝6a2－3a＋10a－2＋2＝6a2＋7a.(2)当a＝－12时，原式＝6a2＋7a＝6×⎝⎛⎭⎪⎫－122＋7×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－2.6．A 点拨：原式＝(m －n)2－2(m －n)＝(－1)2－2×(－1)＝3. 7．A8．－17 点拨：9b 2－6a ＋4＝3(3b 2－2a)＋4＝3×(－7)＋4＝－17. 9．5910．解：因为14x ＋5－21x 2＝－2，所以14x －21x 2＝－7，所以3x 2－2x ＝1.所以6x 2－4x ＋5＝2(3x 2－2x)＋5＝7.11．解：当x ＝2时，23×a －2b ＋5＝4，即8a －2b ＝－1. 当x ＝－2时，ax 3－bx ＋5＝(－2)3×a －(－2)×b ＋5 ＝－8a ＋2b ＋5＝－(8a －2b)＋5 ＝－(－1)＋5＝6.点拨：求多项式的值时，有时给出相应字母的值，直接求值；有时不能求出字母的值，就需要观察已知与所求之间的关系，有时可将已知条件和所求式子经过适当变形后，运用整体代入的方法求解．12．解：(1)将x ＝1代入(2x ＋3)4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4， 得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4＝625.(2)将x ＝－1，代入(2x ＋3)4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4＝1.(3)因为(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝2(a 0＋a 2＋a 4)， 所以625＋1＝2(a 0＋a 2＋a 4)，所以a 0＋a 2＋a 4＝313.点拨：直接求各项系数所组成的式子的值是行不通的，通过观察各式的特点，通过适当地赋予x 特殊值可以求出．专训五1．B 2.D 3.－13π；3 4.A 5.A6．B 点拨：设小长方形的长为a cm ，宽为b cm ，则上面的长方形周长为：2(m －a ＋n －a) cm ，下面的长方形周长为：2(m －2b ＋n －2b) cm ，则总周长为[4m ＋4n －4(a ＋2b)] cm .因为a ＋2b ＝m(由题图可知)，所以周长和＝4m ＋4n －4(a ＋2b)＝4n(cm )．7．解：(1)原式＝5x －2x ＋3y ＝3x ＋3y.(2)原式＝－3a ＋(2b －a －b)＝－3a ＋b －a ＝－4a ＋b. 8．解：(1)原式＝43a －2a ＋23a 2＋23a －13a 2＝13a 2.当a ＝－14时，原式＝13a 2＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝148.(2)原式＝4x －6y －3x －2y －1 ＝x －8y －1.当x ＝2，y ＝－12时，原式＝x －8y －1＝2－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝5.9．解：原式＝13x 2－3x 2－3xy ＋35y 2＋83x 2＋3xy ＋25y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＋83x 2＋(－3＋3)xy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋25y 2＝y 2，由于化简的结果中不含字母x ，故原多项式的值与x 的值无关，因而无论甲把x 的值错抄成什么数，只要y 值没错，结果都是正确的．10．B 11.A12．(6a －4b) 13.(2m ＋3) 14.2a ＋6b 15．解：x ＋(3x －8)＋12x＝x ＋3x －8＋12x＝92x －8(套) 当x ＝600时，92x －8＝92×600－8＝2 692.答：9月份三个车间共加工⎝ ⎛⎭⎪⎫92x －8套服装，当x ＝600时，三个车间共加工2 692套服装． 16．1 17.618．解：因为2x 2－5x ＋4＝5，所以2x 2－5x ＝1. 所以(15x 2－18x ＋4)－(－3x 2＋19x －32)－8x ＝18x 2－45x ＋36 ＝9(2x 2－5x)＋36 ＝9×1＋36 ＝45.19．A 20.D 21.122．解：2A ＋3B ＝2(－3x 2－2mx ＋3x ＋1)＋3(2x 2＋2mx －1)＝(2m ＋6)x －1.因为2A＋3B的值与x无关，所以2m＋6＝0，即m＝－3.23．(n＋2)2－n2＝4(n＋1)24．(4n＋2)25．解：(1)x＋1＋x＋1＋x＋1＋x＋1＋x2＝x2＋4x＋4.(2)有．因为题图(b)是正方形，边长为x＋2，所以面积为(x＋2)2.(3)x2＋4x＋4＝(x＋2)2.因为图形的面积不变．初中数学试卷桑水出品。