J1

[xT (k)Qx(k) uT (k)Ru(k)]
2 k0
目的：设计一个状态反馈控制律
u(k) Kx(k)
使得性能指标 J 最小化。
离散系统线性二次型 最优控制问题
定理7.3.1 若（A, B）是能控的，则离散系统线性二次型
最优控制问题有解，最优控制器是
u(k) (R BT PB)1 BT PAx(k)
利用李雅普诺夫方程
xT (k)Qx(k) V (x(k)) V (x(k 1))
xT (k)Qx(k) V (x(k)) V (x(k 1))
两边求和，并利用稳定性可得
J 1 xT (k)Qx(k) 1 [xT (k)Px(k) xT (k 1)Px(k 1)]
7.3 离散时间系统的线性二次型最优控制 自治系统的离散时间模型
x(k 1) Ax(k)
假定系统渐近稳定，即矩阵A的所有特征值在单位圆内 系统的初始状态 x(0) 是已知的。
性能指标 J 1 xT (k)Qx(k) 2 k0
问题：如何计算系统的性能指标值？ 直接计算法，需要求无穷级数的和。
其中的矩阵P满足
P Q AT PA AT PB(R BT PB)1 BT PA
离散系统 Riccati方程
由于系统 x(k 1) Ax(k) 是渐近稳定的， 故对任意的对称正定矩阵Q，
AT PA P ) xT (k)Px(k)
V (x(k)) V (x(k 1)) V (x(k)) xT (k 1)Px(k 1) xT (k)Px(k) [Ax(k)]T P[Ax(k)] xT (k)Px(k) xT (k)(AT PA P)x(k)
2 k0
2 k0
1 xT (0)Px(0) 2
因此，

xT (k)Qx(k) xT (0)Px(0)
k 0
其中的P是 ATPA P Q 的对称正定解矩阵。
特点：通过求解一个代数方程来求得无穷级数的和！
系统的离散时间模型： x(k 1) Ax(k) Bu(k)
二次型性能指标