第三章 大变形问题的有限元分析
目的：以大变形问题为例， 目的：以大变形问题为例，介绍几何非线性问题的有限元 方法。 方法。 特点：与线性有限元方法比较，几何关系不再是线性的。 特点：与线性有限元方法比较，几何关系不再是线性的。 内容： 内容： 引言 大变形问题的应变描述 大变形分析中的应力描述及本构关系 大变形问题有限元方程的建立 大变形分析中的载荷处理 小结
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现时构型时材料的密 随变形变化。 度－随变形变化。
大变形分析中的本构关系(4/5) 大变形分析中的本构关系(4/5)
次弹性材料 若应力率与变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。但 应力率与变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。 之间成线性变化规律 本构关系描述时要求“ 为与刚体转动无关的客观时间导数。 本构关系描述时要求“率”为与刚体转动无关的客观时间导数。
本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－ 本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－应变共轭对 描述材料的本构关系。 描述材料的本构关系。 弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。 弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。
，
本构关系有三种形式
σ ij = Aijkl ε kl
∂W σ ij = ∂ε ij
初始构型时材料 的密度－ 的密度－常数 Case-2
* W = W ( ε ij )
* ∂ ρ *W ( ε kl ) * Sij = * ∂ε ij
≜ AIJKLε KL
相 比 较
坐标变换
一阶近似
总之， 总之，对于一般的大变形 问题， 问题，在连续介质力学中 不能简化！ 不能简化！ 常用超弹性来表征材料的 本构关系。 本构关系。
初始构型（ 时刻 时刻） 初始构型（0时刻）
现时构型（ 时刻） 现时构型（t 时刻）
当前构型（ 时刻） 当前构型（ t + ∆t 时刻）
连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义 连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义 和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号， 和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号，而是与小变形 理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。 理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。
特殊情形
S IJ = AIJKLε KL
不依赖于构型变化 弹性本构关系多用于大位移（转动）小应变的情形。 弹性本构关系多用于大位移（转动）小应变的情形。 大位移 的情形
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大变形分析中的本构关系(3/5) 大变形分析中的本构关系(3/5)
超弹性材料 假定材料具有单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构 假定材料具有单位质量的应变能函数， 单位质量的应变能函数 关系，这类材料称为超弹性材料。 关系，这类材料称为超弹性材料。
Kirchhoff应力： 应力： 应力
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 S 表示； 应力， 表示； 通过初时构型上的微元体定义的应力称为 应力 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时 现时（ 应力， 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， ） * 表示。 用 表示。 S
Case-1
W = W ( ε KL )
∂W ( ε KL ) ∂ε IJ
例如
W=
1 2ρ 0
2
ε IJ AIJKLε KL
(不限于这种形式） 不限于这种形式） 不限于这种形式 增量形式 …
现时Kirchhoff应力 应力 现时 或增量形式 …
S IJ = ρ 0
S IJ = ρ 0
一阶近似
∂ W ( ε MN ) ε KL ∂ε IJ ∂ε KL
∆ε IJ = ∂xm ∂xn * ∆ ε mn ∂X I ∂X J
现时（ 应变增量： 现时（Updated）Green应变增量： ） 应变增量
∆*ε ij = 1 ∂∆ui ∂∆u j 1 ∂∆uk ∂∆uk + + 2 ∂x j ∂xi 2 ∂xi ∂x j
= ∆*eij + ∆*ηij
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大变形问题的应变描述(1/4) 大变形问题的应变描述(1/4)
问题的特点：由于变形较大， 问题的特点：由于变形较大，使得不同时刻物体具有差别不能 忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。 忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。
xi
yi
XI
(a)
(b)
(c)
注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。 注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。 大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。 大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。
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大变形问题的应变描述(3/4) 大变形问题的应变描述(3/4)
∂yi ∂x j
D( N ) =
∂ ( x1 , x2 , x3 ) ∂xi = ∂ ( X 1 , X 2 , X 3 ) ∂X J
D*( N +1) =
Байду номын сангаас
∂ ( y1 , y2 , y3 ) ∂ ( x1 , x2 , x3 )
=
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大变形分析中的本构关系(1/5) 大变形分析中的本构关系(1/5)
应变增量： 应变增量： Green应变增量： 应变增量： 应变增量
∆ε IJ = 1 1 (δ KJ + uK , J ) ∆uK , I + (δ KI + uK , I ) ∆uK , J + ∆uK , I ∆uK , J 2 2 = ∆eIJ + ∆η IJ
线性部分
非线性部分
二者之间满足张 量变换关系！ 量变换关系！
∂σ ij ∂t = Aijkl ∂ε kl ∂t
（大变形分析中） 大变形分析中） 线弹性材料 (elasticity) 超弹性材料 (hyperelasticity) 次弹性材料 (hypoelasticity)
Aijkl
为常数
1 W = ε ij Aijkl ε kl 2
ν Aijkl = 2G δ ilδ jm + δ ijδ lm 1 − 2ν
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大变形问题的应力描述(2/2) 大变形问题的应力描述(2/2)
Kirchhoff、现时Kirchhoff及Euler应力（增量）间的关系： 、现时 应力（ 及 应力 增量）间的关系：
*Sij = σ ij + ∆ * Sij
现时Kirchhoff应力增量 应力增量 现时
现时Kirchhoff应力 应力 现时 t + ∆t 时刻
线性部分
非线性部分是高阶小量 对于小变形情形
∆ε IJ = ∆*ε ij = 1 ∂∆ui ∂∆u j + ≜ ∆ε ij ∂X i 2 ∂X j
现时（ 应变增量退化成： 现时（Updated）Green应变增量退化成： ） 应变增量退化成
∆*ε ij = 1 ∂∆ui ∂∆u j 1 ∂∆uk ∂∆uk + + 2 ∂x j ∂xi 2 ∂xi ∂x j
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线性部分
非线性部分
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大变形问题的应变描述(4/4) 大变形问题的应变描述(4/4)
应变增量：（续）－对于大变形小应变情形 应变增量：（续）－对于大变形小应变情形 ：（ Green应变增量退化成： 应变增量退化成： 应变增量退化成
∆ε IJ = 1 1 (δ KJ + uK , J ) ∆uK , I + (δ KI + uK , I ) ∆uK , J + ∆uK , I ∆uK , J 2 2 = ∆eIJ + ∆η IJ
Case-1
ɺ S IJ = AIJK L εɺ K L
同乘以时间增量 ∆t
增量形式 …
Case-2
* * Sij J = Aijkl Dkl
可以证明， 可以证明，这两个率都与转动无关
Jaumann 应力率
* ɺ* ɺ* * ɺ * Sij J = Sij − Sik ωkj − S * ωki jk
ε KL =
1 ( uK ,L + uL, K + uM , K uM , L ) 2
现时（ 应变张量： 现时（Updated）Green应变张量：以现时构型为参考构 ） 应变张量 型所定义的应变， 型所定义的应变，数学表示为
ε kl =
1 ( uk ,l + ul ,k + um,k um,l ) 2
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大变形分析中的本构关系(2/5) 大变形分析中的本构关系(2/5)
弹性材料
应力与Green应变之间存在一一对应关系，则称这 应变之间存在一一对应关系， 若Kirchhoff应力与 应力与 应变之间存在一一对应关系 类材料为弹性材料 类材料为弹性材料
S IJ = F ( ε KL )
从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为 应力， 从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用 σ 应力 表示。 应力代表物体的真实应力 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构 应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。 型，因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
= ∆*eij + ∆*ηij
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线性部分